算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

例如：$6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}$，$1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}$，$5207=41\times 127$。

算术基本定理的内容由两部分构成：

• 分解的存在性：
• 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定理陈述

$\forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A$. 其中 $p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}$ 而且 $p_{i}$ 是一个质数，$a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}$.

这种表示的方法存在，而且是唯一的。

证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数$p|ab$，则不是 $p|a$，就是$p|b$。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

存在性

用反证法：假设存在大于 $1$ 的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 $n$。

$n$ 不可为质数，因为 $n=n$ 可被写成质数的乘积。因此 $n$ 一定是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 $1$ 的自然数的积。设 $n=a\times b$ ，则根据假设，由于 $n$ 是最小的不能被写成质数乘积的自然数，所以 $a=p_{1}p_{2}...p_{j}$ 和 $b=q_{1}q_{2}...q_{j}$ 都能被写成质数的乘积。然而 $n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}$ 也可以写成质数的乘积，由此产生矛盾，故大于 $1$ 的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理：若质数$p|ab$，则不是 $p|a$，就是$p|b$。

引理的证明：若$p|a$ 则证明完毕。若$p\nmid a$，那么两者的最大公约数为1。根据贝祖等式，存在$(m,n)$ 使得$ma+np=1$。于是$b=b(ma+np)=abm+bnp$。 由于$p|ab$，上式右边两项都可以被p整除。所以$p|b$。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设$n$是其中最小的一个。

首先$n$不是质数。将$n$用两种方法写出：$n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。根据引理，质数$p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ ，所以$q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}$ 中有一个能被$p_{1}$整除，不妨设为$q_{1}$。但$q_{1}$也是质数，因此$q_{1}=p_{1}$ 。所以，比$n$小的正整数$n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}$也可以写成$q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。这与$n$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

推广

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})\quad (d\in \mathbb {N} )$ 之中，只有少数几个能满足。例如，$6$可以以两种方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整数乘积：$2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$。一个自然的问题是$a+b{\sqrt[{}]{-d}}$哪个$d$值可以得到唯一分解定理？在高斯时代，已知有9个$d$使得$a+b{\sqrt[{}]{-d}}$所产生的数有唯一因子分解（$a$，$b$如上面指出那样取值）。$d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$高斯认为$d$的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（Alan Baker）独立用不同方法证明了第10个$d$值不存在。两个人重新检查了黑格纳的工作，发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的黑格纳，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为黑格纳点。

欧几里得在普通整数 $\mathbb {Z}$ 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 $(\pm 1,\pm i)$ 之作用，那么这个唯一分解定理在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

外部链接

• （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于互联网档案馆）