自伴算子

在数学、尤其是泛函分析中，矢量空间 $V$ 上的自伴算子是一类特殊的线性算子（自同态），其伴随算子是其自身。根据不同的需要，可以讨论 $V$ 为拓扑矢量空间、赋范矢量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况，使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质，一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。

若 $V$ 是具有规范正交基的有限维复向量空间，其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明，对于一个算子 $A$ ，总能找到 $V$ 上的规范正交基使得 $A$ 在该基下的矩阵是一个对角矩阵，且这些对角元都是实数。

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似：一个算子是自伴的，当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过，黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的，从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上，故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分，而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺依曼表述中，位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱（能级）具有重要的物理意义的同时，哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成，而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

量子力学

在量子力学里，自伴算子，又称为自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符${\hat {O}}\,\!$和其伴随算符${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$，假设${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ ，则称${\hat {O}}\,\!$为厄米算符。厄米算符的期望可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量$O\,\!$的期望是实值的：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!$。

对于任意量子态$|\psi \rangle \,\!$，这关系都成立；

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!$。

根据伴随算符的定义，假设${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$是${\hat {O}}\,\!$的伴随算符，则$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符${\hat {O}}\,\!$，都是厄米算符。

可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符${\hat {H}}\,\!$是一个很重要的自伴算符，表达为

${\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!$；

其中，$\psi \,\!$是粒子的波函数，$\hbar \,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是质量，$V\,\!$是位势。

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态$|\psi \rangle \,\!$的波函数为$\psi (x)\,\!$，

$\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$。

对于任意量子态$|\psi \rangle \,\!$，${\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!$。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

参考文献

• Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)