逆威沙特分布参数 |
自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定) |
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值域 |
是正定的 |
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概率密度函数 |
 |
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期望值 |
 |
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眾數 |
[1]:406 |
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逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数,定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中,逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵
的逆矩阵
遵从威沙特分布
的话,那么就说矩阵
遵从逆威沙特分布:

逆威沙特分布的概率密度函数是:

其中
和
都是
的正定矩阵,而Γp(·) 则是多变量伽马分布。函数

指的是迹函数。
设矩阵
并且
是
的矩阵,那么
遵从逆威沙特分布:
。它的概率密度函数是:

其中
,而
是多变量伽马分布[2]。
设矩阵
遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵
和
都有相适合的分块矩阵表示方式:

其中子矩阵
和
是
的矩阵,那么会有:
甲)
和
与
相互独立,其中
是子矩阵
在
中的舒尔补。
乙)
;
丙)
,其中
是矩阵正态分布。
丁)
假设要求先验分布
为逆威沙特分布
的协方差矩阵
。如果观测值
是从互相独立的 p-变量正态分布
的随机变量得到的,那么条件分布
遵从的是逆威沙特分布:
。其中
是样本协方差矩阵的
倍。
因此,逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。
期望值:[2]:85

矩阵
的每一个系数的方差:

对角系数的方差是在上式中令
得到,化简后变成:

当变量数目减到一个的时候,逆威沙特分布会变成特例:逆伽马分布。也就是说,当
、
、
以及
的时候,逆威沙特分布的概率密度函数是:

这正是逆伽马分布。其中
是通常的伽马函数。
而逆威沙特分布也有推广,其中一个是正态逆威沙特分布。