逆威沙特分布母數 |
自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定) |
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值域 |
是正定的 |
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機率密度函數 |
 |
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期望值 |
 |
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眾數 |
[1]:406 |
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逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是統計學中出現的一類機率分布函數,定義在實值的正定矩陣上。在貝氏統計中,逆威沙特分布會用作多變量常態分布共變異數矩陣的共軛先驗分布。
如果一個正定矩陣
的逆矩陣
遵從威沙特分布
的話,那麼就說矩陣
遵從逆威沙特分布:

逆威沙特分布的機率密度函數是:

其中
和
都是
的正定矩陣,而Γp(·) 則是多變量伽馬分布。函數

指的是跡函數。
設矩陣
並且
是
的矩陣,那麼
遵從逆威沙特分布:
。它的機率密度函數是:

其中
,而
是多變量伽馬分布[2]。
設矩陣
遵從逆威沙特分布。並且假設矩陣
和
都有相適合的分塊矩陣表示方式:

其中子矩陣
和
是
的矩陣,那麼會有:
甲)
和
與
相互獨立,其中
是子矩陣
在
中的舒爾補。
乙)
;
丙)
,其中
是矩陣常態分布。
丁)
假設要求事前分布
為逆威沙特分布
的共變異數矩陣
。如果觀測值
是從互相獨立的 p-變量常態分布
的隨機變數得到的,那麼條件分布
遵從的是逆威沙特分布:
。其中
是樣本共變異數矩陣的
倍。
因此,逆威沙特矩陣是多變量常態分布的共軛事前分布。
期望值:[2]:85

矩陣
的每一個係數的變異數:

對角係數的變異數是在上式中令
得到,化簡後變成:

當變量數目減到一個的時候,逆威沙特分布會變成特例:逆伽馬分布。也就是說,當
、
、
以及
的時候,逆威沙特分布的機率密度函數是:

這正是逆伽馬分布。其中
是通常的伽馬函數。
而逆威沙特分布也有推廣,其中一個是常態逆威沙特分布。