- 本条目中,向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,
或
。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,
表示
平方;而
是
的第二個分量。
在電磁學裏,平面電磁波的四維頻率
以公式定義為
;
其中,
是電磁波的頻率,
是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。
四維頻率與自己的內積永遠等於零:
。
類似地,四維角頻率
以公式定義為
;
其中,
是電磁波的角頻率。
顯然地,
。
四維波向量
與四維角頻率有密切的關係,定義為
;
其中,
是電磁波的波向量。
在本篇文章裏,閔可夫斯基度規的形式被規定為
,這是参考了約翰·傑克森(John D. Jackson)的著作《經典電動力學》中所採用的形式;並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。
給予兩個慣性參考系
、
;相對於參考系
,參考系
以速度
移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣
是[1]
;
其中,
是勞侖茲因子,
是貝他因子,
、
、
分別是參考系
對於參考系
的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度
、
、
的貝他因子。
設定一個朝著
方向傳播於真空的平面電磁波,對於參考系
,這平面電磁波以公式表達為
、
;
其中,
、
分別是電磁波的電場、磁場,
、
分別是其波幅,
是四維波向量,
是四維位置,
是位置,
、
分別垂直於
,而且
。
那麼,對於參考系
,這平面電磁波以公式表達為
、
。
四維波向量
與
之間的關係為
。
經過一番運算,可以求得
;
其中,
是參考系
相對於參考系
的四維速度,
是參考系
相對於參考系
的速度。
在真空裏,四維頻率與四維波向量之間的關係為
。
所以,
。
這也是參考系
的觀察者所觀察到的頻率。
- ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1