- 本条目中,矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置矢量通常用
表示;而其大小则用
来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,
或
。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,
表示
平方;而
是
的第二个分量。
在电磁学里,平面电磁波的四维频率
以公式定义为
;
其中,
是电磁波的频率,
是朝着电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零:
。
类似地,四维角频率
以公式定义为
;
其中,
是电磁波的角频率。
显然地,
。
四维波矢
与四维角频率有密切的关系,定义为
;
其中,
是电磁波的波矢。
在本篇文章里,闵可夫斯基度规的形式被规定为
,这是参考了约翰·杰克森(John D. Jackson)的著作《经典电动力学》中所采用的形式;并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。
给予两个惯性参考系
、
;相对于参考系
,参考系
以速度
移动。对于这两个参考系,相关的洛伦兹变换矩阵
是[1]
;
其中,
是洛伦兹因子,
是贝塔因子,
、
、
分别是参考系
对于参考系
的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度
、
、
的贝塔因子。
设定一个朝着
方向传播于真空的平面电磁波,对于参考系
,这平面电磁波以公式表达为
、
;
其中,
、
分别是电磁波的电场、磁场,
、
分别是其波幅,
是四维波矢,
是四维位置,
是位置,
、
分别垂直于
,而且
。
那么,对于参考系
,这平面电磁波以公式表达为
、
。
四维波矢
与
之间的关系为
。
经过一番运算,可以求得
;
其中,
是参考系
相对于参考系
的四维速度,
是参考系
相对于参考系
的速度。
在真空里,四维频率与四维波矢之间的关系为
。
所以,
。
这也是参考系
的观察者所观察到的频率。
- ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1