1 + 2 + 3 + 4 + …
外觀
無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和,是一個發散級數,其數學式也寫作
儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值,透過黎曼ζ函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:
部分和公式的證明
[編輯]自然數從 1 加到 n 的和是 能用許多方法證明。首先令
我們將這些項重排反著寫:
將兩者相加,對應項相加,我們得到
ζ函數的求和與解析連續性
[編輯]當 s 的實部大於 1,s 次方的黎曼ζ函數等於求和 。當 s 的實部小於或等於 1 時和式發散,但當 s = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為 。
1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉馬努金另外給其定義,其拉馬努金求和的結果為 [1]。
物理
[編輯]在玻色弦理論中,我們想算出一個弦的可能的能量級,特別是最低能量級。非正式地說,每一個弦的諧波可以視為一組 無關量子諧振子,這裡 是時空的維數。如果基本振子頻率是 則一個振子對 級諧波的貢獻是 。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 。最後這確實是正確的,與Goddard–Thorn theorem一起,導致波色弦理論在維數不為 26 時是不一致的。
一個類似的計算是計算卡西米爾力。
歷史
[編輯]在拉馬努金寫給戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期為1913年2月27日):
- 「親愛的先生,我很感激地讀到你1913年2月8日的信。我等待您的答覆,類似於一個倫敦的數學教授寫信要我仔細研究布羅米奇的「無窮級數」而不要陷入發散級數的陷阱。……我告訴他,在我的理論中一個無窮數列 。如果我告訴你這個,你肯定會勸我進精神病收容院。我向你細說此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所寫的行數,你不可能找出我證明的方法。」[2]
注釋
[編輯]引用
[編輯]- Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
- Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.
延伸閱讀
[編輯]- Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, 248: 327–340 [2008-12-13]. (原始內容存檔於2018-12-01).
- Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
- Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.