常數函數

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數 $f(x)=4$ ，因為 $f$ 映射任意的值到4，因此 $f$ 是一個常數。更一般地，對一個函數 $f:A\rightarrow B$ ，如果對 $A$ 內所有的 $x$ 和 $y$ ，都有 $f(x)=f(y)$ ，那麼， $f$ 是一個常數函數。其中 $f(x)=0$ 的常數函數稱為零函數，圖形為x軸；值不為零的常數函數則可稱為零次函數，圖形為一平行x軸的水平線。

請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為 $A$ 中沒有 $x$ 和 $y$ 使 $f(x)$ 和 $f(y)$ 不同。然而有些人^[誰？]認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式，而零函數對應只能叫零多項式。

性質

常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的：

$f:A\rightarrow B$ 是一個常數函數。
對所有函數 $g,h:C\to A,f\circ g=f\circ h$ （「 $\circ$ 」表示複合函數）。
$f$ 與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。

上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函數的導函數度量自變數的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。例如：

如果 $f$ 是一個定義在某一區間、變量為實數的實數函數，那麼若且唯若 $f$ 的導函數恆為零時， $f$ 是常數。

對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如 $f$ 的定義域是一個格，那麼 $f$ 一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括：

任一定義域和對應域相同的常數函數是等冪的。
任一拓撲空間上的常數是連續的。

在一個連通集合中，若且唯若f是常數時，它是局部常數。

參見

參考文獻

Herrlich, Horst and Strecker, George E., 範疇論（Category Theory）, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
常数函数（Constant function）. PlanetMath.

閱論編多項式
函數	零次函數(常數函數) 一次函數二次函數三次函數四次函數五次函數
方程式	一次方程式二次方程式三次方程式四次方程式五次方程式六次方程式七次方程式八次方程式
算法	多項式除法因式不可約多項式最大公因式（英語：Polynomial greatest common divisor）秦九韶算法結式判別式

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和對應域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英語：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英語：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英語：function of several real variables） $X$ $X$ →（英語：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英語：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射滿射對射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英語：Partial function）多值隱
閱論編