多解析度分析

多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用來分析離散小波變換〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年及1998年由Stephane Mallat 著作的論文提到。

定義

L^p空間$L^{2}(\mathbb {R} )$的多解析度分析由一系列巢狀子空間組成

$\{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )$

• 取樣定理

  取樣定理主要是在重建一個時間長度$T$中被取樣過的訊號：若訊號是有限頻寬，只要奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）比$1/T$小及可完整重建訊號；否則得到的重建訊號為近似的訊號。因此可以說，愈小的$T$使得訊號的重建愈容易，$T$的大小將決定訊號解析度，同時，取樣頻率也受到$T$的限制。

• 概念

  倘若一個訊號具有變化速度差異大的區段，像是訊號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段，則上述單一解析度將不適用於分析訊號。因此，多重解析度分析的概念因此而生。將訊號在不同解析度上分析。

• 定義

  令$V_{j}\left(j=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \right)$為在函數空間$L^{2}(R)$裡的子空間的數列，假如

  1. 分簇性(nested)：$\dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )$
  2. 稠密性(density)：$\operatorname {Closure} \left(\bigcup _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}\right)={\overline {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)$
  3. 分離性(seperation)：$\bigcap _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}=\dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots =\left\{0\right\}$
  4. 調節性(scaling)：$f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}$
  5. 正規正交基底(orthonormal basis)：$\phi \in V_{0}$且集合$\left\{\phi (x-k),k\in Z\right\}$為$V_{0}$的一正規正交基底。

  則$\left\{V_{j},j\in Z\right\}$為帶有調整函數$\phi$的多解析度分析。

• 應用

  在高頻的時候，使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。

  在低頻的時候，使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。

  相當適合使用在長時間都是低頻成份，只有在短時間內會有高頻成份的訊號

參考文獻

• Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"