約瑟·伯特蘭
在古典力學裏,伯特蘭定理闡明,只有兩種位勢
可以給出閉合軌道[1]:
。
。
其中,
是徑向座標,
是正值常數。假若物體從某位置移動,經過一段路徑後,又回到原先位置,則稱此路徑為閉合軌道。
1687年,物理學家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律,解釋了行星繞著太陽的公轉為何遵守克卜勒定律。此後許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道時,可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年,法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理,才正確解析此問題。該定理對於古典天體力學研究非常重要,伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裏,理論物理學家發現由於廣義相對論效應,重力與距離不再成精確的平方反比關係,因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞著太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。
所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道;這圓形軌道當然是閉合軌道;其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值;後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言,非連心力不會產生圓形的公轉軌道。
採用極坐標
,一個移動於連心勢
的粒子,其拉格朗日量
是
。
其中,
是粒子質量,
、
分別表示
、
對於時間
的導數。
這粒子的拉格朗日方程式為
、
。
由於角坐標
顯性地跟拉格朗日量無關,
是個可略坐標,其共軛動量(角動量)
守恆,
是個常數:
。
將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式,可以得到一個
的二次微分方程式,
。
假設軌道是圓形軌道,方程式左手邊第一個項目是零,則如同期待的,連心力
等值於離心力
。
對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為
。
將這公式代入,可推導出一個跟角度有關,跟時間無關的軌道方程式:
。
設定變數
,改換方程式的變數為
,同時將方程式兩邊乘以
,可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式:
。
如同前面所說,給予粒子適當的初始速度,任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是,假設給予粒子某徑向速度,則這些軌道可能不穩定(穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道),也可能不閉合。本段落會證明,穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢(一個必要條件)。下一個段落會證明,這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道(一個充分條件)。
為了簡化標記,設定
;(1)
其中,
是連心力函數。
則軌道方程式為
。
如果要得到半徑為
的圓形運動軌道,必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零,方程式變為
。
思考對於標準圓形運動軌道的變數
的微擾
,函數
在
的泰勒級數為
。
將此展開示代入軌道方程式:
。
設定常數
(
的解答為標準圓形運動軌道):
。(2)
取至
的1次方:
。
必須是個非負數;否則,軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為
;
其中,振幅
是個積分常數。
假若這軌道是閉合軌道,則
必須是有理數。繼續運算,從方程式(1),取對於
的導數:
。
這方程式對於任意
值都必須成立,因此可以將
認定為函數
的參數。用符號
來代替
,
。
將方程式的變數換回為
,
。
這意味著作用力必須遵守冪定律:
。
代入方程式 (1) ,
的一般形式為
。(3)
假設實際軌道與圓形有更大的差別(也就是說,不能忽略
函數的泰勒級數的更高次方項目),則可以用傅立葉級數來展開
:
。
因為高頻率項目的係數太小,傅立葉級數只取至
項目。方程式 (2)也只取至
的三次方。注意到
與
的數量級為
,超小於
;
的數量級為
,超小於
與
。將上述傅立葉級數代入方程式 (2),匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣,可以得到一系列方程式:
,(4)
,(5)
。(6)
求
在
對於
的微分:

。(7)
。(8)
將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6):
,(9)
。(10)
再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5),經過一番運算,可以得到伯特蘭定理的重要結果:
。
解答
是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (
)與徑向諧振子勢 (
)能夠造成穩定的,閉合的,非圓形的公轉軌道。
平方反比連心力給出的連心勢,像重力勢或靜電位,以方程式表示為
。
處於這種連心勢的粒子,其一般軌道方程式寫為
。
其解答為軌道函數
:
;
其中,
是橢圓軌道的離心率,
是相位差,是一個積分常數。
這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當
時,這軌道對應於圓形軌道;
當
時,這軌道是橢圓形軌道;當
時,這軌道是拋物線軌道;當
時,這軌道是雙曲線軌道。
離心率與粒子能量
的關係為
。
所以,當
時,這軌道是圓形軌道;
當
時,這軌道是橢圓形軌道;當
時,這軌道是拋物線軌道;當
時,這軌道是雙曲線軌道。
為了方便解析這問題,採用直角坐標
。位能可以寫為
。
處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量
是
。
這粒子的拉格朗日方程式為
、
、
;
其中,
是振動頻率。
常數
必須為正值;否則,粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為
、
、
;
其中,
、
、
分別為x、y、z方向的振幅,
、
、
分別為其相位
由於上述方程式經過整整一週期
後,會重複自己,軌道解答
是閉合軌道。
牛頓旋轉軌道定理表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子
是有理數,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式,增添的立方反比力
為
;
其中,
是粒子原本的角動量,
是粒子的質量。
所以,
。
由於
是有理數,
可以寫為分數
;其中,
和
都是整數。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成
圈公轉的時間等於原本完成
圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。
- ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853.
- Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (英語).
- Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787
- Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157
- Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449