图1：吸引力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
角速度 比蓝行星快三倍，因此需要更强的向心力 ，这是由立方反比吸引力给出。固定不动的红行星依靠立方反比排斥力来抵销吸引力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
GIF版本 。 图2：绿行星和蓝行星的公转 轨道的半径相同，但是绿行星的角速度是蓝行星的
k
{\displaystyle k\,\!}
在经典力学 里，牛顿旋转轨道定理 （Newton's theorem of revolving orbits ）辨明哪种有心力 能够改变移动粒子的角速度 ，同时不影响其径向运动（图1和图2）。艾萨克·牛顿 应用这理论于分析轨道的整体旋转运动（称为拱点进动 ，图3）。月球和其他行星的轨道都会展现出这种很容易观测到的旋转运动。有心力的方向永远指向一个固定点；称此点为“力中心点”。“径向运动”表示朝向或背向力中心点的运动，“角运动”表示垂直于径向方向的运动。
发表于1687年，牛顿在巨著《自然哲学的数学原理 》，第一册命题43至45里，推导出这定理。在命题43里，他表明只有有心力才能达成此目标，这是因为感受有心力作用的粒子，其运动遵守角动量守恒定律 。在命题44里，他推导出这有心力的特征方程，证明这有心力是立方 反比作用力，与粒子位置离力中心点的径向距离
r
{\displaystyle r\,\!}
三次方 成反比。在命题45里，牛顿假定粒子移动于近圆形轨道，将这定理延伸至任意有心力状况，并提出牛顿拱点进动定理 （Newton's apsidal precession theorem ）。
天文物理学家苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡 在他的1995年关于《自然哲学的数学原理》的评论中指出，虽然已经过了三个世纪，但这理论仍然鲜为人知，有待发展[ 1] 唐纳德·林登-贝尔 （Donald Lynden-Bell ）与合作者曾经研究过这理论[ 2] [ 3] 法扎尔·穆罕默德 （Fazal Mahomed ）与F·瓦乌达 （F. Vawda ）共同贡献出这理论的延伸的精确解[ 4]
从地球观看到的火星 的逆行运动图案。 图3：行星绕着太阳的公转轨道呈椭圆形 （卵形 ）。随着时间演进，这轨道会缓慢地旋转（称为拱点进动 可视化 ，这椭圆轨道的离心率 已被增大。在太阳系 里，大多数的轨道的离心率比较小的多，看起来接近圆形。GIF版本 过去几千年来，天文学家有系统地观测天空中的星体 运动，发现各种各样的恒星 有规律地绕行，相对位置永远保持不变。可是，也有一些星体被观测到“漫游”于这些以恒星为背景的前方，其轨迹比较难以捉摸，大多数这种星体被称为行星 。虽然它们通常沿着一条路径循着同样方向从天空的这一端移动到那一端（请参阅黄道 ），但是某些独特的行星有时候会短暂地逆转其移动方向，显示出逆行运动 。[ 5]
为了描述这种忽前忽后的运动，阿波罗尼奥斯 （公元前262年–前190年）提出均轮与本轮 的概念。按照这概念，行星的本身绕行的轨迹为一个圆圈，而这个圆圈的圆心又循着另一个圆圈的轨迹绕行；如此这般一个搭著一个，就像儿童乐园里的咖啡杯游戏一样。任意轨道可以用足够数量、仔细设定的本轮来模拟，因为这方法对应于现代的傅里叶变换 [ 6] 托勒密 编纂出《天文学大成 》。在这本书里，他发展出来的系统能够比美那时代最准确的天文观测。托勒密采用亚里士多德 的地心学说 来解释自己发展出来的系统。地心学说强调行星只能运行于以地球为圆心的同心圆球面 。之后的一千多年，学术界公认这是最正确的宇宙模型。
在16世纪，由于天文学家第谷·布拉赫 和物理学家约翰内斯·开普勒 的共同努力，研究出许多关于行星运动的科学理论。经过多年披星戴月、不眠不休地细心观测，第谷获得许多非常准确的行星运动数据。第谷慷慨无私地将这些数据托付给开普勒，使他能够专心研究这些数据，因而推论出关于行星运动的开普勒定律 。[ 7] 太阳系 里，各个行星绕着太阳（不是地球）公转；这公转轨道的形状是椭圆形，而不是本轮形。开普勒第二定律和第三定律更给出具体的预测数值：在相等时间内，太阳和公转中的行星的连线所扫过的面积都是相等的（称此连线为行星的“连心线”）；绕着太阳的各个行星，其公转周期 的平方 与其椭圆轨道的半长轴 的立方 成正比。[ 8] 长轴 也会随着时间演进而缓慢地旋转。轨道近拱点和远拱点分别是行星的公转轨道离椭圆焦点（力中心点）最近或最远的位置，又共称为拱点 。对于绕着太阳的行星的公转轨道，近日点 和远日点 都是拱点。[ 9]
大约80年后，于1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理 》。在这本巨著里，牛顿创建的物理理论能够完全解释开普勒的三条定律。这理论建构于牛顿运动定律 和牛顿万有引力定律 。牛顿提出，任意两个物体彼此之间相互作用的重力 是一种有心力，大小与这两个物体各自的质量 乘积成正比，与这两个物体之间的距离 平方成反比。从他的运动定律来论述，感受到这种作用力的任意粒子的轨道是圆锥曲线 ，更明确地说，假若这轨道不延伸至无穷远，则必会呈椭圆形。可是，这结论只成立于当系统里只有两个物体（二体问题 ）的案例。在牛顿之后已有几百年了，虽然科学家能够找到一些特别案例的解答，像欧拉三体问题 [ 10] 三体问题 、多体问题 ）仍旧无解[ 11] [ 12] 月亮 绕着地球的椭圆形公转轨道，所牵涉到的作用力，极大部分是地球重力，而太阳的重力和其它太阳系的天体的重力都可以被忽略。但是牛顿也表明，行星轨道和月球轨道的拱点进动是这些被忽略的作用力所造成的；特别是月球轨道的拱点进动是因为太阳重力的摄动效应 所产生的现象。[ 13]
牛顿旋转轨道定理是牛顿第一次尝试研究拱点进动的成果。根据这定理，增添某种有心力（立方反比力）可以使得公转轨道绕着力中心点旋转，能够将绕着力中心点公转的粒子的角速度乘以因子
k
{\displaystyle k\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
离心率 椭圆轨道；在太阳系里，大多数轨道都是这种轨道。为了找到这近似值，牛顿发展出一种无穷级数 ，可以视为泰勒展开 的前驱[ 14] 亚历克西斯·克莱罗 于1747年研究出一个比较准确的模型[ 15] 乔治·希尔 [ 16] 欧内斯特·布朗 （Ernest Brown ）[ 17] 查尔斯-尤斤·德朗奈 [ 18]
牛顿旋转轨道定理不仅可以解释拱点进动，其涉及的范围极为广博。这定理能够描述将立方反比力增添于任意有心力
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
万有引力 或库仑力 般的简单的平方反比作用力，而是相当复杂的未知力。如同数学概述 章节表明，这定理便利地简化了经典力学轨道问题：在分析粒子的运动轨道时，不需先行考虑立方反比力，就可以计算分别表达径向运动和角运动的轨道方程
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
ω
2
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}=k\omega _{1}\,\!}
其中，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
图4：三个行星的径向运动相同，但是分别以不同的角速度公转。只感受到平方反比作用力的蓝行星移动于椭圆轨道（
k
=
1
{\displaystyle k=1\,\!}
k
=
3
{\displaystyle k=3\,\!}
k
=
0
{\displaystyle k=0\,\!}
图9 展示绿行星和蓝行星的轨道。GIF版本 图5：绿行星的角速度是蓝行星的三分之一（
k
=
1
/
3
{\displaystyle k=1/3\,\!}
图10 展示绿行星和蓝行星的轨道。GIF版本 设定一个感受到任意有心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
平面运动 ，粒子的位置可以以极坐标
(
r
,
θ
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1})\,\!}
原点 于力中心点。随着时间的演进，移动于轨道的粒子的极坐标是时间
t
{\displaystyle t\,\!}
(
r
(
t
)
,
θ
1
(
t
)
)
{\displaystyle (r(t),\theta _{1}(t))\,\!}
设定另一个感受到有心力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
(
t
)
=
k
θ
1
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
[ 19]
F
2
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
其中，
L
1
{\displaystyle L_{1}\,\!}
角动量 ，是有心力的一个运动常数 （守恒量 ）。
称这方程为“增力方程”。假设
k
2
>
1
{\displaystyle k^{2}>1\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
<
0
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)<0\,\!}
k
2
<
1
{\displaystyle k^{2}<1\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
>
0
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)>0\,\!}
增添立方反比力会使得粒子的运动路径也有所改变。由于主要目标是要了解径向变量和角变量之间的关系，所以不需考虑径向运动和角运动对于时间的关系。为了达到这目标，不限制角变量必须在
0
{\displaystyle 0\,\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,\!}
2×360° = 720° 。角变量正式定义为角速度的积分：
θ
1
(
t
)
≡
∫
0
t
ω
1
(
t
′
)
d
t
′
{\displaystyle \theta _{1}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{1}(t')\ dt'\,\!}
θ
2
(
t
)
≡
∫
0
t
ω
2
(
t
′
)
d
t
′
{\displaystyle \theta _{2}(t)\equiv \int _{0}^{t}\omega _{2}(t')\ dt'\,\!}
其中，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
假设第一个粒子的路径表示为
r
=
g
(
θ
1
)
{\displaystyle r=g(\theta _{1})\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
r
=
g
(
θ
2
/
k
)
{\displaystyle r=g(\theta _{2}/k)\,\!}
1
r
=
A
+
B
cos
θ
1
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}\,\!}
其中，
A
{\displaystyle A\,\!}
B
{\displaystyle B\,\!}
那么，第二个粒子的路径应为
1
r
=
A
+
B
cos
(
θ
2
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)\,\!}
按照增力方程 ，假设
k
{\displaystyle k\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
1
{\displaystyle 1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
虽然在图3里，进动中的轨道似乎是以角速度常数在均匀地旋转，这只成立于圆形轨道[ 2]
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
ω
2
=
ω
1
+
Ω
{\displaystyle \omega _{2}=\omega _{1}+\Omega \,\!}
ω
2
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}=k\omega _{1}\,\!}
Ω
=
(
k
−
1
)
ω
1
{\displaystyle \Omega =(k-1)\omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
角动量守恒定律 ，
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
r
2
{\displaystyle r^{2}\,\!}
ω
1
=
L
1
m
r
2
{\displaystyle \omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}}\,\!}
所以只当径向距离
r
{\displaystyle r\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
Ω
{\displaystyle \Omega \,\!}
图6：移动于蓝直线的蓝粒子的径向距离
r
{\displaystyle r\,\!}
b
=
r
cos
(
θ
1
−
θ
0
)
{\displaystyle b=r\cos(\theta _{1}-\theta _{0})\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
撞击参数 ，以红线段表示）。 举一个最简单的范例来解释牛顿旋转轨道定理。当没有任何作用力施加于第一个粒子时，也就是说，当
F
1
(
r
)
=
0
{\displaystyle F_{1}(r)=0\,\!}
1
r
=
1
b
cos
(
θ
1
−
θ
0
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})\,\!}
其中
b
{\displaystyle b\,\!}
撞击参数 ，以红线段表示），
(
r
,
θ
1
)
{\displaystyle (r,\theta _{1})\,\!}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}\,\!}
当
Δ
θ
=
θ
1
−
θ
0
=
−
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{0}=-90^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
{\displaystyle \Delta \theta \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
=
0
∘
{\displaystyle \Delta \theta =0^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
撞击参数 ，定义为从原点到直线路径的垂直距离。然后，随着粒子朝着
Δ
θ
{\displaystyle \Delta \theta \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
θ
=
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =90^{\circ }\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
图7：几条外螺线分别对应于
k
{\displaystyle k\,\!}
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
设定立方反比力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
=
μ
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\,\!}
其中常数
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
在这范例里，
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
增力方程 ，可以得到
μ
=
L
1
2
m
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}(1-k^{2})\,\!}
假设，将这立方反比力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
科茨螺线 [ 20] [ 21]
1
r
=
d
e
f
1
b
cos
(
θ
2
−
θ
0
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{b}}\cos \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)\,\!}
其中，
k
{\displaystyle k\,\!}
k
2
=
d
e
f
1
−
m
μ
L
1
2
{\displaystyle k^{2}\ {\stackrel {def}{=}}\ 1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}\,\!}
当
k
2
{\displaystyle k^{2}\,\!}
实数 时，解答是外螺线 [ 22]
Δ
θ
=
θ
2
−
θ
0
=
±
k
×
90
∘
{\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{0}=\pm k\times 90^{\circ }\,\!}
余弦 趋向于零，径向距离趋向于无穷远。因此，当
k
<
1
{\displaystyle k<1\,\!}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
L
1
2
/
m
{\displaystyle L_{1}^{2}/m\,\!}
μ
<
0
{\displaystyle \mu <0\,\!}
0
<
μ
<
L
1
2
/
m
{\displaystyle 0<\mu <L_{1}^{2}/m\,\!}
图8：潘索螺线（双曲余弦 螺线）对应于
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
按照前面
k
{\displaystyle k\,\!}
k
2
{\displaystyle k^{2}\,\!}
负数 ，则
k
{\displaystyle k\,\!}
虚数 ，余弦函数解答变成双曲余弦 解答：
1
r
=
1
b
cosh
(
θ
2
−
θ
0
λ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{\lambda }}\right)\,\!}
其中
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
λ
2
=
d
e
f
m
μ
L
1
2
−
1
=
−
k
2
{\displaystyle \lambda ^{2}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1=-k^{2}\,\!}
这是科茨螺线的另一种曲线，对应于两种潘索螺线 [ 22]
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
L
1
2
m
{\displaystyle {\frac {L_{1}^{2}}{m}}\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
取
k
{\displaystyle k\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
倒数螺线 或双曲螺线 ，以方程表示：[ 23]
1
r
=
A
θ
2
+
ε
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon \,\!}
其中
A
{\displaystyle A\,\!}
ε
{\displaystyle \varepsilon \,\!}
当施加的排斥力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
μ
=
L
1
2
m
{\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}\,\!}
图9：
k
{\displaystyle k\,\!}
在各种各样的有心力之中，有两种有心力的性质比较特别：一种有心力与距离呈线性关系，
F
=
C
r
{\displaystyle F=Cr\,\!}
胡克定律 ；另一种有心力与距离平方呈反比关系，
F
=
C
/
r
2
{\displaystyle F=C/r^{2}\,\!}
牛顿万有引力定律 和库仑定律 。一个移动中的粒子，假设感受到这两种之中任何一种作用力，而且缺乏足够能量 移动到无穷远，则当回到初始位置时，其速度永远是初始速度。换句话说，一个束缚粒子的路径必定是闭合路径，其运动会不停地重复，不论其初始位置或初始速度。伯特兰定理 表明，对于其它种类的有心力，这性质不成立；通常而言，当一个粒子回到初始位置时，其速度不等于初始速度。
但是牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子
k
{\displaystyle k\,\!}
有理数 ，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据增力方程，增添的立方反比力
Δ
F
(
r
)
=
μ
r
3
{\displaystyle \Delta F(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}\,\!}
Δ
F
(
r
)
=
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle \Delta F(r)=F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
所以，
k
2
=
1
−
m
μ
L
1
2
{\displaystyle k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}\,\!}
由于
k
{\displaystyle k\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
分数
m
/
n
{\displaystyle m/n\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
整数 。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
图10：
k
{\displaystyle k\,\!}
谐和轨道与次谐和轨道都是闭合轨道。假若
k
{\displaystyle k\,\!}
k
=
m
/
n
{\displaystyle k=m/n\,\!}
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
k
=
3
{\displaystyle k=3\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
倒数 ，则称闭合轨迹为“次谐和轨道”；也就是说，假若方程
k
=
m
/
n
{\displaystyle k=m/n\,\!}
m
=
1
{\displaystyle m=1\,\!}
k
=
1
/
3
{\displaystyle k=1/3\,\!}
[ 2] [ 3]
在《自然哲学的数学原理》，第一册命题45里，牛顿应用他的旋转轨道定理发展出一套新方法，能够寻找出主掌行星运动的作用力定律。[ 24] 长轴 可以从天文测量数据中准确地计算出来。长轴定义为连接近拱点 （离力中心点最近距离点）和远拱点 （离力中心点最远距离点）的直线段。例如，水星 轨道的长轴定义为连接其近日点 和远日点 的直线。经过一段时间，由于其它星体的重力摄动、吸引体的扁球形状 （oblateness in the attracting body ）、广义相对论效应 和其它效应，大多数行星轨道的长轴会缓慢地旋转。这现象称为拱点进动 [ 25]
牛顿旋转轨道定理只描述增添立方反比有心力会造成的效应。但是靠着限制公转轨道为近圆形轨道，像低轨道离心率 的椭圆轨道（
ϵ
≤
10
%
{\displaystyle \epsilon \ \leq 10\%\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
指数 。[ 25]
从椭圆轨道的力中心点指向近拱点的矢量称为“近拱矢量”，指向远拱点的矢量称为“远拱矢量”；“拱角”
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
幂定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
在太阳系 里的八个行星轨道中，有七个是低轨道离心率的椭圆轨道。牛顿又将他的定理应用于水星，轨道离心率大约为21%[ 26] 哈雷彗星 ，轨道离心率大约为97%[ 25]
为了简化方程，牛顿以新函数
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
=
C
(
r
)
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\,\!}
其中，
R
{\displaystyle R\,\!}
半正焦弦 。
牛顿将
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
泰勒展开 ）[ 27]
Δ
F
(
r
)
{\displaystyle \Delta F(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
[ 24]
1
k
2
=
(
R
C
)
d
C
d
r
|
r
=
R
{\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}\,\!}
换句话说，这任意有心力
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
Δ
F
(
r
)
{\displaystyle \Delta F(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}\,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
F
(
r
)
{\displaystyle F(r)\,\!}
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}\,\!}
k
×
180
∘
{\displaystyle k\times 180^{\circ }\,\!}
牛顿举出三个例子来说明他的公式。在前两个例子里，有心力遵守幂定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
n
{\displaystyle r^{n}\,\!}
k
=
1
/
n
{\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
回想前面所述，轨道的旋转速度为
Ω
=
(
k
−
1
)
ω
1
{\displaystyle \Omega =(k-1)\omega _{1}\,\!}
T
{\displaystyle T\,\!}
Ω
T
=
(
k
−
1
)
ω
1
T
=
(
k
−
1
)
180
∘
{\displaystyle \Omega T=(k-1)\omega _{1}T=(k-1)180^{\circ }\,\!}
对于像牛顿万有引力定律 一类的平方反比定律 ，
k
=
1
{\displaystyle k=1\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }\,\!}
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }\,\!}
对于像胡克定律 一类的线性有心力关系，
k
=
0.5
{\displaystyle k=0.5\,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\,\!}
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }\,\!}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }\,\!}
用来衡量作用力定律的距离幂，拱角是一个的优良的指示量。牛顿就是用这指示量来侦测有心力的种类。在《自然哲学的数学原理》，第三册里，牛顿因此推断太阳施加于行星的作用力是平方反比力；他又推断地球施加于月球的作用力也是平方反比力，天文观测到的进动误差是由太阳重力造成的。可是，牛顿无法给出一个准确的重力模型来描述月亮轨道的拱点进动。
在第三个例子里，牛顿计算两个幂定律的叠和：
C
(
r
)
∝
a
r
m
+
b
r
n
{\displaystyle C(r)\propto ar^{m}+br^{n}\,\!}
其中，
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
对于这案例，角速度增加的倍数为
k
=
a
+
b
a
m
+
b
n
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\,\!}
所以，拱角
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
α
=
a
+
b
a
m
+
b
n
×
180
∘
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}\times 180^{\circ }\,\!}
这两个公式（幂定律和幂叠加定律）为牛顿研究月球拱点进动的重要工具。
月球的运动比其它行星更为复杂，主要是因为地球和太阳的重力互相竞争。 使用精密的仪器，经过细心地勘测，可以准确地获得月球运动的数据。分析这些数据，天文学家发觉，月球的运动比其它行星的运动更为复杂[ 28] 喜帕恰斯 和托勒密 注意到月球轨道有许多周期 性的变化[ 28] 轨道离心率 的小振动、轨道面与黄道面 之间的轨道倾角 的小规模振动。这些振动通常发生频率为每月一次或每月两次。拱点线 缓慢地进动，周期大约为8.85年，而交点线 （轨道面与黄道面的交集 ）旋转一周期需要大约双倍时间18.6年[ 29] 蚀 大约为18年的周期，称为沙罗周期 。但是，这两条线的运动都会经历到月时间尺寸的小规模变动。
1673年，杰雷米亚·霍罗克斯 发表了一个相当准确的月亮运动模型，月亮被认为是依循着一条进动中的椭圆轨道公转[ 30] [ 31] 经度 的航海问题应该可以迎刃而解[ 32] 角分 ，即地球经度的
1
∘
{\displaystyle 1^{\circ }\,\!}
[ 33] [ 33]
月亮绕着地球公转的拱角观测值大约为
181
∘
31
′
30
″
{\displaystyle 181^{\circ }31'30''\,\!}
[ 34] 平方反比定律 为重力定律的形式，替而代之，采用指数 是
2.0165
{\displaystyle 2.0165\,\!}
幂定律 为重力定律的形式，就可以给出一个合理的拱点进动解释[ 1]
F
(
r
)
=
−
G
M
m
r
2.0165
{\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2.0165}}}\,\!}
1894年，阿萨夫·霍尔 将这方程加以改良，使这方程更为精确。从计算得到的结果，他能够解释水星轨道的异常进动[ 35] 于尔班·勒威耶 于1859年观测到的现象[ 36] 欧内斯特·布朗 （Ernest Brown ）于1903年发展出的月球运动说 （lunar theory ），只根据平方反比形式的牛顿万有引力定律 ，就能够准确地预测月亮的位置，因此彻底地推翻了霍尔的理论[ 37] 现代科学认可的解释 涉及了广义相对论 ，取至第一近似，这理论增添了一个四次方反比有心力，即与径向距离的四次方成反比的有心力[ 38]
第二，牛顿建议，太阳对于月亮运动的摄动影响，或许可以近似为额外的线性作用力：
F
(
r
)
=
A
r
2
+
B
r
{\displaystyle F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br\,\!}
其中，
r
{\displaystyle r\,\!}
A
{\displaystyle A\,\!}
B
{\displaystyle B\,\!}
这方程右手边的第一个项目对应于月亮与地球之间互相吸引的重力，第二个项目代表太阳的重力施加于地球-月亮系统的平均摄动力。假设地球被一团均匀密度的圆球状灰尘云包围，也会出现这样的作用力[ 39]
k
{\displaystyle k\,\!}
180
∘
45
′
44
″
{\displaystyle 180^{\circ }45'44''\,\!}
1.5
∘
{\displaystyle 1.5^{\circ }\,\!}
[ 34]
于1687年，牛顿发表了他的定理，即《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至命题45。但是，如同天文物理学家学家钱德拉塞卡 在他的1995年关于这本巨著的评论中指出，已经过了三个世纪，这理论仍旧鲜为人知，有待发展[ 1]
于2000年，玛侯嵋与娃达共同发表了牛顿旋转轨道定理的第一个推广[ 4]
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
r
2
=
r
1
{\displaystyle r_{2}=r_{1}\,\!}
1
r
2
(
t
)
=
a
r
1
(
t
)
+
b
{\displaystyle {\frac {1}{r_{2}(t)}}={\frac {a}{r_{1}(t)}}+b\,\!}
其中，
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
这变换改变了粒子的路径。假设第一个粒子的路径写为
r
1
=
g
(
θ
1
)
{\displaystyle r_{1}=g(\theta _{1})\,\!}
a
r
2
1
−
b
r
2
=
g
(
θ
2
k
)
{\displaystyle {\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}=g\left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)\,\!}
假设第一个粒子感受到的作用力为
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
2
)
=
a
3
(
1
−
b
r
2
)
2
F
1
(
a
r
2
1
−
b
r
2
)
+
L
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
−
b
L
2
m
r
2
{\displaystyle F_{2}(r_{2})={\frac {a^{3}}{\left(1-br_{2}\right)^{2}}}F_{1}\left({\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}\right)+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)-{\frac {bL^{2}}{mr^{2}}}\,\!}
按照这方程，将第一个作用力
F
1
{\displaystyle F_{1}\,\!}
F
2
{\displaystyle F_{2}\,\!}
稍微比较一下，设定
a
=
1
{\displaystyle a=1\,\!}
b
=
0
{\displaystyle b=0\,\!}
r
1
=
r
2
{\displaystyle r_{1}=r_{2}\,\!}
r
2
=
g
(
θ
2
/
k
)
{\displaystyle r_{2}=g(\theta _{2}/k)\,\!}
在牛顿的巨著《自然哲学的数学原理 》第一册的命题43至命题45里，可以找到他的导引[ 40] 几何学 。
示图说明牛顿的导引。蓝行星的椭圆轨道以虚线表示，绿行星的椭圆轨道以实线表示。两个椭圆轨道共同享有焦点C（力中心点）。
∠
U
C
P
{\displaystyle \angle UCP\,\!}
∠
V
C
Q
{\displaystyle \angle VCQ\,\!}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
∠
U
C
Q
{\displaystyle \angle UCQ\,\!}
θ
2
=
k
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}=k\theta _{1}\,\!}
∠
U
C
V
{\displaystyle \angle UCV\,\!}
(
k
−
1
)
θ
1
{\displaystyle (k-1)\theta _{1}\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
物体移动于绕着力中心点旋转的曲线，必定如同物体移动于固定不动的相同曲线 [ 41] 详细地解释这句话，假设一条曲线
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!}
牛顿的命题43导引依赖在《自然哲学的数学原理 》里已先行推导出来的命题2[ 42] 合力 是否为有心力的测验：牛顿表明，一个作用力是有心力，若且维若，在相等时间内，粒子的连心线扫过的面积都是相等的。
牛顿的导引如下：
假设一粒子感受到任意有心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle {F}_{1}(r)\,\!}
(
r
(
t
)
,
θ
1
(
t
)
)
{\displaystyle (r(t),\theta _{1}(t))\,\!}
d
t
{\displaystyle dt\,\!}
d
A
1
{\displaystyle dA_{1}\,\!}
d
A
1
=
1
2
r
2
d
θ
1
{\displaystyle dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}\,\!}
由于粒子感受到的作用力为有心力，根据牛顿命题2，在相等时间内，粒子的连心线扫过相等角度，即粒子的连心线扫过的面积速度为常数：
d
A
1
d
t
=
1
2
r
2
d
θ
1
d
t
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle {\frac {dA_{1}}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\mathrm {constant} \,\!}
在拱点，离力中心点最近或最远的位置，速度矢量与径向矢量相互垂直，单位质量的角动量（表示为
h
1
{\displaystyle h_{1}\,\!}
h
1
=
L
1
m
=
r
v
1
=
r
2
d
θ
1
d
t
=
2
d
A
1
d
t
{\displaystyle h_{1}={\frac {L_{1}}{m}}=rv_{1}=r^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2{\frac {dA_{1}}{dt}}\,\!}
第二个粒子的轨道的径向函数与第一个粒子完全相同，但角函数
θ
2
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
θ
2
(
t
)
=
k
θ
1
(
t
)
{\displaystyle \theta _{2}(t)=k\theta _{1}(t)\,\!}
第二个粒子的面积速度
h
2
{\displaystyle h_{2}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
h
2
=
2
d
A
2
d
t
=
r
2
d
θ
2
d
t
=
k
r
2
d
θ
1
d
t
=
2
k
d
A
1
d
t
=
k
h
1
{\displaystyle h_{2}=2{\frac {dA_{2}}{dt}}=r^{2}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}=kr^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=2k{\frac {dA_{1}}{dt}}=kh_{1}\,\!}
由于
k
{\displaystyle k\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
分别感受到两个不同的作用力，一个物体移动于固定不动的轨道，如同另外一个物体移动于绕着力中心点旋转的轨道，则这两个作用力的差值与径向距离的立方成反比[ 43] 为了能从原本有心力
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
几何 与向心加速度 的定义来计算它们的差值
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
L
1
2
−
L
2
2
m
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
仔细分析一个移动中的粒子所感受到的径向作用力
F
r
{\displaystyle F_{r}\,\!}
m
r
¨
{\displaystyle m{\ddot {r}}\,\!}
m
v
θ
2
/
r
=
m
r
θ
˙
2
{\displaystyle mv_{\theta }^{2}/r=mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}
F
r
=
m
r
¨
+
m
r
θ
˙
2
{\displaystyle F_{r}=m{\ddot {r}}+mr{\dot {\theta }}^{2}\,\!}
此命题的两个粒子的径向距离相同，
r
1
=
r
2
{\displaystyle r_{1}=r_{2}\,\!}
F
2
(
r
)
−
F
1
(
r
)
=
m
r
θ
˙
1
2
−
m
r
θ
˙
2
2
=
L
1
2
−
L
2
2
m
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)=mr{\dot {\theta }}_{1}^{2}-mr{\dot {\theta }}_{2}^{2}={\frac {L_{1}^{2}-L_{2}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
寻找近圆形轨道的拱点的运动[ 44] 在这命题里，从他的旋转轨道定理，牛顿推导出“牛顿拱点进动定理”：对于近圆形轨道，假若有心力遵守幂定律
F
(
r
)
=
r
n
−
3
{\displaystyle F(r)=r^{n-3}\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
牛顿拱点进动定理可以用来研究近圆形轨道。对于行星轨道和月亮回绕地球的公转轨道，这近似通常成立。这近似也使得牛顿能够计算一些不同种类的有心力定律，不仅仅是平方反比定律或立方反比定律。
假设第一个粒子的轨道为椭圆轨道，则这粒子必定感受到平方反比力[ 45]
F
1
(
r
)
=
μ
/
r
2
=
−
L
1
2
m
R
r
2
{\displaystyle F_{1}(r)=\mu /r^{2}=-{\frac {L_{1}^{2}}{mRr^{2}}}\,\!}
其中，
R
=
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle R=a(1-e^{2})\,\!}
半正焦弦 ，
a
{\displaystyle a\,\!}
半长轴 ，
e
{\displaystyle e\,\!}
离心率 。
将这公式代入命题44的方程，可以得到
F
2
(
r
)
=
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
r
L
1
2
m
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-rL_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}
对于近圆形轨道，将径向距离近似为
r
≈
r
m
a
x
−
Δ
r
{\displaystyle r\approx r_{max}-\Delta r\,\!}
其中，
r
m
a
x
=
a
(
1
+
e
)
{\displaystyle r_{max}=a(1+e)\,\!}
远拱距 ，
Δ
r
{\displaystyle \Delta r\,\!}
牛顿以新函数
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
C
(
r
)
{\displaystyle C(r)\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
Δ
r
{\displaystyle \Delta r\,\!}
F
2
(
r
)
=
C
(
r
)
R
r
3
≈
C
(
r
m
a
x
)
−
C
′
(
r
m
a
x
)
Δ
r
R
r
3
≈
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
(
r
m
a
x
−
Δ
r
)
L
1
2
m
R
r
3
{\displaystyle F_{2}(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}\approx {\frac {C(r_{max})-C^{\prime }(r_{max})\Delta r}{Rr^{3}}}\approx {\frac {R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-(r_{max}-\Delta r)L_{1}^{2}}{mRr^{3}}}\,\!}
匹配零阶项目。这时，可以将
r
m
a
x
{\displaystyle r_{max}\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
C
(
r
m
a
x
)
=
[
R
(
L
1
2
−
L
2
2
)
−
r
m
a
x
L
1
2
]
/
m
≈
−
R
L
2
2
/
m
{\displaystyle C(r_{max})=[R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-r_{max}L_{1}^{2}]/m\approx -RL_{2}^{2}/m\,\!}
再匹配一阶项目：
C
′
(
r
m
a
x
)
=
−
L
1
2
/
m
{\displaystyle C^{\prime }(r_{max})=-L_{1}^{2}/m\,\!}
综合这两个方程，可以得到近圆形轨道角速度的标度因子
k
{\displaystyle k\,\!}
[ 24]
(
R
C
)
d
C
d
r
|
r
=
R
=
L
1
2
L
2
2
=
1
k
2
{\displaystyle \left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}={\frac {L_{1}^{2}}{L_{2}^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}\,\!}
以方程表达有心力为
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
3
−
n
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}
C
(
r
)
=
μ
r
n
{\displaystyle C(r)=\mu r^{n}\,\!}
k
=
1
/
n
{\displaystyle k=1/{\sqrt {n}}\,\!}
换句话说，假设第一个粒子感受到平方反比力
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
2
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{2}\,\!}
F
2
(
r
)
=
μ
/
r
3
−
n
{\displaystyle F_{2}(r)=\mu /r^{3-n}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
α
1
=
180
∘
{\displaystyle \alpha _{1}=180^{\circ }\,\!}
α
2
=
k
×
180
∘
{\displaystyle \alpha _{2}=k\times 180^{\circ }\,\!}
α
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
爱德蒙·惠特克 （E. T. Whittaker ）[ 46] 钱德拉塞卡 [ 41]
假设，第二个粒子的角速度
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}\,\!}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
ω
2
=
d
θ
2
d
t
=
k
d
θ
1
d
t
=
k
ω
1
{\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}\,\!}
由于两个粒子的径向行为
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)\,\!}
L
1
{\displaystyle L_{1}\,\!}
L
2
{\displaystyle L_{2}\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
L
2
=
m
r
2
ω
2
=
m
r
2
k
ω
1
=
k
L
1
{\displaystyle L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!}
一个运动于连心势
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)\,\!}
拉格朗日量 等于其动能减去连心势：
L
(
r
,
θ
)
=
m
2
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
−
V
(
r
)
=
m
2
(
r
˙
2
+
r
2
θ
˙
2
)
−
V
(
r
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\theta )={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)-V(r)={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r)\,\!}
其中，
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\,\!}
直角坐标 。
其拉格朗日方程 为
m
r
¨
−
m
r
θ
˙
2
−
F
(
r
)
=
0
{\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-F(r)=0\,\!}
d
d
t
(
m
r
2
θ
˙
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{{d}t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0\,\!}
其中，
F
(
r
)
=
−
∂
V
(
r
)
∂
r
{\displaystyle F(r)=-\ {\frac {\partial V(r)}{\partial r}}\,\!}
移动于连心势
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)\,\!}
拉格朗日方程 给出：
m
d
2
r
d
t
2
−
m
r
ω
2
=
m
d
2
r
d
t
2
−
L
2
m
r
3
=
F
(
r
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}
分别应用径向运动方程于这两个粒子，
m
d
2
r
d
t
2
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
=
F
2
(
r
)
+
L
2
2
m
r
3
=
F
2
(
r
)
+
k
2
L
1
2
m
r
3
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\,\!}
其中，
F
1
(
r
)
{\displaystyle F_{1}(r)\,\!}
F
2
(
r
)
{\displaystyle F_{2}(r)\,\!}
稍加编排，可以得到增力方程：
F
2
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
这两个有心力之间的关系式的内涵，可以解释为，角速度（或等价地，角动量）的不同造成了向心力 需求的不同；为了满足这需求，径向力必须增添一个立方反比力。
牛顿旋转轨道定理可以等价地以势能 来表达，径向力方程以势能写为
−
d
V
2
d
r
=
−
d
V
1
d
r
+
L
1
2
m
r
3
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle -\ {\frac {dV_{2}}{dr}}=-\ {\frac {dV_{1}}{dr}}+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
对于径向距离
r
{\displaystyle r\,\!}
积分 ，牛顿旋转轨道定理表明，增添一个平方反比连心势于任意给定的势能
V
1
(
r
)
{\displaystyle V_{1}(r)\,\!}
k
{\displaystyle k\,\!}
V
2
(
r
)
=
V
1
(
r
)
+
L
1
2
2
m
r
2
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle V_{2}(r)=V_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{2mr^{2}}}\left(1-k^{2}\right)\,\!}
粒子的径向方程为
m
d
2
r
d
t
2
−
L
2
m
r
3
=
F
(
r
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)\,\!}
注意到
L
=
m
r
2
θ
˙
{\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}\,\!}
d
d
t
=
L
m
r
2
d
d
θ
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}\ {\frac {d}{d\theta }}\,\!}
设定径向距离的倒数
u
=
1
/
r
{\displaystyle u=1/r\,\!}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
F
(
1
/
u
)
L
2
u
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {mF(1/u)}{L^{2}u^{2}}}\,\!}
以方程表达有心力为
F
=
μ
u
3
−
n
{\displaystyle F=\mu u^{3-n}\,\!}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
μ
L
2
u
1
−
n
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-\ {\frac {m\mu }{L^{2}}}u^{1-n}\,\!}
将近圆形轨道近似为椭圆轨道，
u
=
[
1
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
/
R
{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
半正焦弦 ，
ϵ
{\displaystyle \epsilon \,\!}
ϵ
<<
1
{\displaystyle \epsilon <<1\,\!}
ϵ
{\displaystyle \epsilon \,\!}
−
ϵ
k
2
R
cos
(
θ
/
k
)
+
1
R
+
ϵ
R
cos
(
θ
/
k
)
≈
m
μ
L
2
R
1
−
n
[
1
+
(
1
−
n
)
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}R}}\ \cos(\theta /k)+{\frac {1}{R}}+{\frac {\epsilon }{R}}\ \cos(\theta /k)\approx {\frac {m\mu }{L^{2}R^{1-n}}}\left[1+(1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\right]\,\!}
注意到零次方项目，
1
−
m
μ
R
n
L
2
=
0
{\displaystyle 1-{\frac {m\mu R^{n}}{L^{2}}}=0\,\!}
L
2
=
m
μ
R
n
{\displaystyle L^{2}=m\mu R^{n}\,\!}
−
ϵ
k
2
cos
(
θ
/
k
)
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
≈
(
1
−
n
)
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}}}\ \cos(\theta /k)+\epsilon \,\cos(\theta /k)\approx (1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\,\!}
为了要满足这方程，必须设定
k
2
=
1
/
n
{\displaystyle k^{2}=1/n\,\!}
u
=
[
1
+
ϵ
cos
(
θ
/
k
)
]
/
R
{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}
拱点是径向距离
r
{\displaystyle r\,\!}
u
{\displaystyle u\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
θ
/
k
=
N
π
{\displaystyle \theta /k=N\pi \,\!}
N
{\displaystyle N\,\!}
θ
=
k
π
=
k
×
180
∘
=
180
∘
/
n
{\displaystyle \theta =k\pi =k\times 180^{\circ }=180^{\circ }/{\sqrt {n}}\,\!}
称这为拱角方程。进一步计算，可以得到更精确的结果[ 47]
k
=
[
1
+
(
1
−
n
)
(
4
−
n
)
24
ϵ
2
]
/
n
{\displaystyle k=\left[1+{\frac {(1-n)(4-n)}{24}}\epsilon ^{2}\right]/{\sqrt {n}}\,\!}
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![{\displaystyle C(r_{max})=[R(L_{1}^{2}-L_{2}^{2})-r_{max}L_{1}^{2}]/m\approx -RL_{2}^{2}/m\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ad33862f78cd53430af3c50d4eb86ac7e6b6a6)
![{\displaystyle u=[1+\epsilon \,\cos(\theta /k)]/R\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e10b84097e54f1ce6d0b7f0075d969e2007e0)
![{\displaystyle -{\frac {\epsilon }{k^{2}R}}\ \cos(\theta /k)+{\frac {1}{R}}+{\frac {\epsilon }{R}}\ \cos(\theta /k)\approx {\frac {m\mu }{L^{2}R^{1-n}}}\left[1+(1-n)\epsilon \,\cos(\theta /k)\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54869b4efccbe27b10b6e9e5da19e1985cbf380d)
![{\displaystyle k=\left[1+{\frac {(1-n)(4-n)}{24}}\epsilon ^{2}\right]/{\sqrt {n}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f44c39d2f56318cfbc5b4fe8b5f5b29f65c317)
