色相环复变函数图形

色相环复变函数图形是一种复变函数图形的呈现方式，是一种饱和度固定为最饱和，将色相表示函数值的辐角、明度表示函数值的绝对值来表达复变函数的定义域着色方法^[1]，这种方法又称为色相环法（color wheel method）^[2]。

历史

使用色相环法的定义域着色早在1980年代末就已被拉里·柯荣（英语：Larry Crone）和汉斯·隆达马克（Hans Lundmark）首先使用。但与之相关的其他的复变函数绘图直到1998年左右时由法兰克·菲莉丝（英语：Frank Farris）统整并统称为定义域着色^[3]。

方法

函数 $f(z)=\sin({\frac {1}{z}})$ 的在第二种定义下的色相环复变函数图形。黑色区块有较大的绝对值。这个函数在 $z=0$ 时存在本质奇点。

这种函数图形表示方有有两种：

一种原点是黑色、-1为红色、1是青色、无限大为白色：

{\begin{aligned}H&=\pi +\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

另一种原点是白色、1为红色、-1是青色、无限大为黑色：

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=2^{-\left|z\right|}\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

另外也有类似第一种的上色方式：原点是黑色、1为红色、-1是青色、无限大为白色：

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

更确切地说，复数的辐角（角度）以色相来表示，而模量（绝对值）以HLS色彩模型（色调、亮度、饱和度）中的亮度来表示；对于给定的（H, L）数对，在这个模型中选择最大饱和度值来呈现指定的复数。这几种上色方式，最鲜艳的颜色以旋转的方式出现在复数高斯平面的单位圆上，根据面两种定义，1的六个六次方根（从1开始、逆时针）颜色分别为红色、黄色、绿色、青蓝、蓝色和洋红。此外，在这种配置上，两个非常接近的复数其亮度值也会非常接近，若其辐角相同，则绝对值较大者，根据第一和最后一种定义，其颜色会较浅；根据第二种定义，其颜色会较深，反之亦然。

然而，HSL色彩空间在视觉上并不均匀，而导致在黄色、青色和品红色表达的复数出现亮度差异的条纹，即使其绝对值与红色、绿色和蓝色相同条纹仍明显可见，在单位圆上（ $L={\frac {1}{2}}$ ）附近也可以见到一圈明显的晕圈。Lab等色彩空间更加接近人类感知，可以校正HSL的不均匀问题，使图像视觉上更准确、更加柔和^{[注 1]}。

针对色相环复变函数图形，为了使图像具可比较性，数学函数数位图书馆(The Digital Library of Mathematical Functions, DLMF)对此定义了一套标准的色彩配置方式^[4]。

复数色彩空间

复数色彩空间是这种定义域着色方法的色彩空间，每个复数皆有对应唯一一种颜色，但是由于其定义上饱和度为定值，因此在这个色彩空间中并非所有色彩都能对应到一个复数。但这种色彩空间和HSL色彩空间一样在视觉上有不均匀的缺点，因此数位图书馆有一套将标准色相环进行微调，其将单位为弧度的色相值以 $\left[0,2\pi \right)\to \left[0,4\right)$ 映射到q，然后以公式换算^[4]：