截面曲率

在黎曼幾何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一種方式。截面曲率$K(\sigma _{p})$ 依賴於p點的切空間裏的一個二維平面 $\sigma _{p}$ 。它就定義為該截面，考慮在 p 點以平面 $\sigma _{p}$ 作為切平面的曲面 ${\textstyle S_{p}}$，這曲面是收集流形中某包含 $p$ 的鄰域內從 p 點出發的測地線且這測地線在 $p$ 點的切向量屬於截面 $\sigma _{p}$ （換句話說就是 ${\textstyle S_{p}=\exp _{p}U}$ 其中 ${\textstyle U\subseteq \sigma _{p}}$ 是 ${\textstyle \sigma _{p}}$ 里包含原點的鄰域）_，而截面曲率 $K(\sigma _{p})$ 就是曲面 $S_{p}$ 在 $p$ 點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2維格拉斯曼纖維叢的光滑實值函數。

截面曲率完全決定了曲率張量，是非常有用的幾何概念。

定義

設$M$為黎曼流形，$\sigma$為$M$上 p 點處切空間中的二維平面，$u$和$v$為$\sigma$中兩個線性無關的向量。 則關於$\sigma$的截面曲率定義為

$K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over |u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}}$

其中$R$是$M$的黎曼曲率張量。

常截面曲率流形

常截面曲率的黎曼流形是最簡單的類型。它們稱為空間形式。通過縮放度量，它們有三種情況

• 負曲率−1， 雙曲幾何
• 零曲率，歐幾里得幾何
• 正曲率+1，橢圓幾何

三類幾何的模型流形分別是雙曲空間，歐幾里得空間和單位球面。它們是對於這些給定的截面曲率唯一可能的完備單連通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它們在某個等距映射群下的商。

性質

• 完備黎曼空間有非負的截面曲率，若且唯若函數$f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)$對於所有點p是一個1-凹函數。
• 一個完備單連通黎曼流形有非正截面曲率，若且唯若函數$f_{p}(x)=dist^{2}(p,x)$是1-凸函數。

參看

• 黎曼曲率張量
• 黎曼流形的曲率
• 曲率