三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群$O(3)$的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。$O(3)$本身則是全體等距同構的歐氏群$E(3)$的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群$SO(3)$之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。$n$階考克斯特群是由$n$個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

群結構

$SO(3)$是直接歐氏群$E^{+}(3)$的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。$SO(3)$僅含保持原點不變的直接等距同構。

$O(3)$則是$SO(3)$與點反演生成的群$\{I,-I\}$的直積：（此處點反演以其矩陣$-I$表示，即單位矩陣$I$乘上$-1$。）

$O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.$

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，$O(3)$中僅由直接等距變換組成的子群$H$（必包含在$SO(3)$中，亦與$O(3)$中含有點反演的子群$K$一一對應。對應關係如下：

$K=H\times \{I,-I\},$

$H=K\cap SO(3).$

例如，若$H$為$C_{2}$，則$K$為$C_{\mathrm {2h} }$；若$H$為$C_{3}$，則$K$為$S_{6}$。（定義載於下文。）

若直接等距同構群$H$有指數為$2$的子群$L$，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

$M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),$

含有間接等距變換，但不含點反演。式中$(A,I)$與$A$視為等同。舉例$H$為$C_{4}$，而$M$為$S_{4}$。

換言之，$M$是將$H\setminus L$中的變換，乘上$-I$得到。此群$M$作為抽象群與$H$同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，$k$重旋轉的循環群$C_{k}$皆是$O(2)$和$SO(2)$的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的$k$重循環群$C_{k}$，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為$2$的子群必正規，$C_{n}$在$C_{n\mathrm {v} }$中正規，也在$C_{n\mathrm {h} }$中正規。此處$C_{n\mathrm {v} }$是向$C_{n}$添加過旋轉軸的反射面生成，而$C_{n\mathrm {h} }$則是向$C_{n}$添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換

$\mathrm {R} ^{3}$的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群$O(3,\mathbb {R} )$，簡記為$O(3)$。其元素分類如下：

• 子群$SO(3)$中：
  • 單位（恆等變換）；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為$180^{\circ }$；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度為$180^{\circ }$；
• 及以上變換但額外乘上點反演（將向量$x$映去$-x$），即：
  • 點反演；
  • 繞過原點的某軸，作角度不為$180^{\circ }$的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
  • 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群$H_{1},H_{2}$在$O(3)$中為共軛子群，即存在$g\in O(3)$，使$H_{1}=g^{-1}H_{2}g$。

舉例：

• 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
• 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉$g$，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的$g$不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取$g$為旋轉。（但空間群則不然，有$11$對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為$\pi$的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群$O(3)$的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論$O(3)$的拓撲閉子群：

無標記特定點的球面，對稱群為$O(3)$。

• 整個$O(3)$是球對稱群、
• 相應的旋轉群是$SO(3)$、
• 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
  • 添加或不添加過軸的各鏡面反射，
  • 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
  • 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的$180^{\circ }$旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃爾·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而$O(3)$、$SO(3)$則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為$\infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m}$，次序在下文明確給出。

有限等距變換群

三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表。

不別共軛之異，三維有限點群只有：

• $7$個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（英語：axial point groups）或稜柱點群（英語：prismatic point groups）。
• $7$個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
  • $4$條三重軸、
  • $4$條三重軸及$3$條四重軸、
  • $10$條三重軸及$6$條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱相容：七列軸向點群中，有$27$個；七個其他點群中，有$5$個，合共$32$個，稱為晶體學點群。

七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數$n$標示。每列第$n$個群，含繞某軸的$n$重旋轉，即旋轉$360^{\circ }/n$，故$n=1$對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱循環對稱），另三列有其他二重旋轉軸（稱二面對稱）。該些群可以視為二維點群添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複$n$次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號、軌形記號、考克斯特記號。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群與帶群。晶體群的$n$僅能取$1,2,3,4,6$（晶體學限制定理），而若移除該限制，則$n$可取任意正整數。七列軸向點群為：

赫－莫		熊夫利	軌形	考克斯特	帶群	抽象結構 （群階）	例子	備註
$n$偶	$n$奇				（圓柱）
$n$		$C_{n}$	$nn$	$[n]^{+}$	p1	循環群$Z_{n}$ （$n$）		$n$重旋轉對稱
${\overline {2n}}$	${\overline {n}}$	$S_{2n}$	$n\times$	$[2n^{+},2^{+}]$	p11g	$Z_{2n}$ （$2n$）		$n$重旋轉反射對稱 勿與$2n$次抽象對稱群混淆
$n/\mathrm {m}$	${\overline {2n}}$	$C_{n\mathrm {h} }$	$n^{*}$	$[n^{+},2]$	p11m	$Z_{n}\times Z_{2}$ （$2n$）
$n\mathrm {mm}$	$n\mathrm {m}$	$C_{n\mathrm {v} }$	${}^{*}nn$	$[n]$	p1m1	二面體群$\mathrm {Dih} _{n}$ （$2n$）		稜錐對稱 生物學又稱雙輻射狀對稱
$n22$	$n2$	$D_{n}$	$22n$	$[n,2]^{+}$	p211	$\mathrm {Dih} _{n}$ （$2n$）		二面體對稱
${\overline {2n}}2\mathrm {m}$	${\overline {n}}\mathrm {m}$	$D_{n\mathrm {d} }$	$2^{*}n$	$[2n,2^{+}]$	p2mg	$\mathrm {Dih} _{2n}$ （$4n$）		反稜柱對稱
$n/\mathrm {mmm}$	${\overline {2n}}2\mathrm {m}$	$D_{n\mathrm {h} }$	${}^{*}22n$	$[n,2]$	p2mm	$\mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$ （$4n$）		稜柱對稱

對奇數$n$，有抽象群同構$Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}$及$\mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$。

群$C_{n}$（包括平凡群$C_{1}$）及$D_{n}$有手性，其他則無手性。

術語水平（horizontal, h）與豎直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群$Z_{2}$，但是$O(3)$的不同子群（即不共軛）：

• $C_{\mathrm {i} }$（等同$S_{2}$）——點反演對稱
• $C_{2}$——二重旋轉對稱
• $C_{\mathrm {s} }$（等同$C_{1\mathrm {h} }$和$C_{1\mathrm {v} }$）——反射對稱，生物學又稱兩側對稱（英語：bilateral symmetry）。

七條圓柱形帶上，印有不同圖樣，使各自的對稱群等於七列軸向群中，取$n=6$的情況。

第一組單軸循環群中，$C_{n}$的階為$n$（二維情況同樣適用），是由單一個角度為$360^{\circ }/n$的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成$C_{n\mathrm {h} }$，階為$2n$。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入$n$塊通過軸的鏡面，則得到$C_{n\mathrm {v} }$，階亦為$2n$。後者是正$n$稜錐的對稱群。具$C_{n}$或$D_{n}$的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到$n$條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的$180^{\circ }$旋轉，故群不再單軸。新群的階為$4n$，記為$D_{n\mathrm {h} }$。其旋轉子群為$2n$個元素的二面體群$D_{n}$，仍有與主（$n$重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維，$D_{n}$包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群$D_{n}$有翻轉但無鏡射。

餘下一類是$D_{n\mathrm {d} }$（或$D_{n\mathrm {v} }$），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉$180^{\circ }/n$。$D_{n\mathrm {h} }$是正$n$稜柱和雙稜錐的對稱群。$D_{n\mathrm {d} }$則是正$n$角反稜柱的對稱群，亦是正$n$方偏方面體的對稱群。最後，$D_{n}$是稍稍扭過的正$n$稜柱的對稱群。

$D_{2}$及$D_{2\mathrm {h} }$較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。$D_{2}$是下節所有多面體對稱群的子群，而$D_{2\mathrm {h} }$則是多面體群$T_{\mathrm {h} }$與$O_{\mathrm {h} }$的子群。$D_{2}$可以作為下列化學品的對稱群：

• 刀豆蛋白A等同四聚體、
• 四個相同具手性配位基的四面體形配合物、
• 四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

$D_{2}$的元素，與利普希茨四元數的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群$S_{n}$由「先關於水平面作鏡射，再旋轉$360^{\circ }/n$」生成。對於奇數$n$，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群$C_{n\mathrm {h} }$，階為$2n$，故不必用到記號$S_{n}$。然而，對偶數$n$，兩個群有差異，且$S_{n}$僅有$n$個元素。與$D_{n\mathrm {d} }$類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：

• $C_{1\mathrm {h} }$及$C_{1\mathrm {v} }$：階數為$2$，由獨一個鏡射生成。又稱$C_{\mathrm {s} }$。
• $D_{1}$與$C_{2}$：階數為$2$，由獨一個$180^{\circ }$旋轉生成。
• $D_{1\mathrm {h} }$與$C_{2\mathrm {v} }$：階數為$4$，由一個鏡射與鏡面上一條軸的$180^{\circ }$旋轉生成。
• $D_{1\mathrm {d} }$與$C_{2\mathrm {h} }$：階數為$4$，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的$180^{\circ }$旋轉生成。

$S_{2}$是由獨一個點反演生成的$2$階群，又記為$C_{\mathrm {i} }$。

此處「重複」是指作為$O(3)$的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的$2$階群，但只有一個$2$階抽象群。類似，也有$S_{2n}$與$Z_{2n}$抽象同構。

群的構造亦可描述如下：

• $C_{n}$是由獨一個元素生成，生成元亦稱為$C_{n}$，是繞軸轉$2\pi /n$。群的元素是：$E$（單位元），$C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}$，對應旋轉角$0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n$。該軸視為豎直軸。
• $S_{2n}$由獨一個元素$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$生成，其中$\sigma _{\mathrm {h} }$是水平面的鏡射。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$。
• $C_{n\mathrm {h} }$由$C_{n}$與反射$\sigma _{\mathrm {h} }$生成。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$。
• $C_{n\mathrm {v} }$由$C_{n}$與豎直鏡面的反射$\sigma _{\mathrm {v} }$生成。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }$。
• $D_{n}$是由$C_{n}$與繞水平面上某軸$180^{\circ }$的旋轉$U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$，其元素是$C_{n}$的元素，另加$U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U$。
• $D_{n\mathrm {d} }$由元素$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$與$\sigma _{\mathrm {v} }$生成。元素是$C_{n}$的元素，加上$S_{2n}$與$C_{n\mathrm {v} }$的額外元素，再加上$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$。
• $D_{n\mathrm {h} }$由元素$C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }$生成。其元素為$C_{n}$的元素，再加上$C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}$的所有額外元素。

取$n$趨向$\infty$的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

赫－莫	熊夫利	軌形	考克斯特		是何序列的極限	抽象群
$\infty$	$C_{\infty }$	$\infty \infty$	$[\infty ]^{+}$		$C_{n}$	$Z_{\infty }$	$SO(2)$
${\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m}$	$C_{\infty \mathrm {h} }$	$\infty ^{*}$	$[2,\infty ^{+}]$		$C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}$	$Z_{2}\times Z_{\infty }$	$Z_{2}\times SO(2)$
$\infty \mathrm {m}$	$C_{\infty \mathrm {v} }$	${}^{*}\infty \infty$	$[\infty ]$		$C_{n\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{\infty }$	$O(2)$
$\infty 2$	$D_{\infty }$	$22\infty$	$[2,\infty ]^{+}$		$D_{n}$	$\mathrm {Dih} _{\infty }$	$O(2)$
${\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm}$	$D_{\infty \mathrm {h} }$	${}^{*}22\infty$	$[2,\infty ]$		$D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }$	$Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }$	$Z_{2}\times O(2)$

七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，$C_{n}$表示一條$n$重軸，即旋轉角為$360^{\circ }/n$，$S_{n}$則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號，然後括號內為軌形記號，然後為考克斯特記號及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

$T,\ (332)$ $[3,3]^{+}$（） $23$ 階為$12$	手性四面體對稱	有四條$C_{3}$軸，是立方體的四條體對角線，也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條$C_{2}$軸，是立方體三組對面的中心連線，也是正四面體三組對邊的中點連線。$T$同構交錯群$A_{4}$，即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群，也是$T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }$及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的$12$個元素，與赫維茲四元數的$24$個可逆元，有一對二的關係，而後者又稱為二元四面體群。
$T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)$ $[3,3]$（） ${\overline {4}}3\mathrm {m}$ 階為$24$	全四面體對稱	本群與$T$有相同的旋轉軸，但另有六塊鏡面，每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊，也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條$C_{2}$軸，兩條$C_{3}$軸。原$C_{2}$軸，加入鏡射後，變成$S_{4}$軸。本群是正四面體的對稱群。$T_{\mathrm {d} }$同構於$4$個元素的對稱群$S_{4}$，因為$T_{\mathrm {d} }$的元素，會將$4$條$C_{3}$軸重新排列，而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸，有$C_{3\mathrm {v} }$對稱，則在$T_{\mathrm {d} }$作用下，軌道有四件同樣的物體，$T_{\mathrm {d} }$就對應此四件物體的排列的集合。$T_{\mathrm {d} }$是$O_{\mathrm {h} }$的正規子群。
$T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)$ $[3^{+},4]$（） $2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}$ 階為$24$	五角十二面體對稱	排球的縫線有$T_{\mathrm {h} }$。（立方五角十二面體） 本群與$T$的旋轉軸相同，另有與立方體的面平行的鏡面。四條$C_{3}$軸變成$S_{6}$軸，並有關於中心的反演對稱。$T_{\mathrm {h} }$同構於$A_{4}\times Z_{2}$（因為$T$與$C_{\mathrm {i} }$皆是正規子群），而與對稱群$S_{4}$不同構。若在立方體的每個面上，各畫一條線段，將該面分成兩個全等的長方形，且使得新增的線段不會相交於稜上，則所得的圖形的對稱群為$T_{\mathrm {h} }$。該些對稱是：立面體四條體對角線的偶排列，及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的（面經分割的）立方體類似，但其中每個長方形換成有四邊等長，具一條對稱軸的五角形，而五角形餘下一條不同長度的邊，對應立方體的面上新增的線段。換言之，可以想像立方體的面在分割線隆起，並在該處變窄（即分割線變短）。本群為全二十面體對稱群的子群（但不正規），且是作為等距變換群的子群，而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸，而本群有其中四條。本群亦為$O_{\mathrm {h} }$的正規子群。雖然記作$T_{\mathrm {h} }$，本群並非任何四面體（英語：Tetrahedron）的對稱群。
$O,\ (432)$ $[4,3]^{+}$（） $432$ 階為$24$	手性八面體對稱	本群與$T$類似，但各$C_{2}$軸現改成$C_{4}$軸，並有額外六條$C_{2}$軸，是過正方體中心與（六對）稜中點的直線。本群與$S_{4}$同構，因為其元素與四條三重軸的$24$個排列一一對應，與$T$類似。若物體繞某條三重軸有$D_{3}$對稱，則在$O$作用下，軌道有四件同樣的物體，而$O$的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉，則$O$對應$24$個赫維茲四元數的可逆元及範數平方為$2$的$24$個利普希茨四元數，各除以${\sqrt {2}}$。與$T$類似，此為一對二的關係。
$O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)$ $[4,3]$（） $4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m}$ 階為$48$	全八面體對稱	本群與$O$有同樣的旋轉軸，但也有鏡射，有齊$T_{\mathrm {d} }$與$T_{\mathrm {h} }$的所有鏡面。本群同構於$S_{4}\times Z_{2}$（因為$O$與$C_{\mathrm {i} }$皆為正規子群），且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱。
$I,(532)$ $[5,3]^{+}$（） $532$ 階為$60$	手性二十面體對稱	本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群，亦是全正二十面體對稱群$I_{\mathrm {h} }$的指標$2$正規子群。本群的子群中，有十個$D_{3}$與六個$D_{5}$（即稜柱或反稜柱的旋轉群）。本群也包含五個$T$子群（見五複合正四面體）。抽象而言，$I$同構於$5$次交錯群$A_{5}$，因為其元素作用在五個$T$子群上，與其偶排列一一對應。等價地，可以考慮$I$對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉，則$I$對應$120$個二十數可逆元。與先前一樣，此為一對二的關係。
$I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)$ $[5,3]$（） ${\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m}$ 階為$120$	全二十面體對稱	本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。$I_{\mathrm {h} }$與抽象群$A_{5}\times Z_{2}$同構，因為$I$與$C_{\mathrm {i} }$皆是正規子群。本群的子群中，有十個$D_{3\mathrm {d} }$、六個$D_{5\mathrm {d} }$（反稜柱的對稱）、五個$T_{\mathrm {h} }$。

相關的連續群有：

• 旋轉群$SO(3)$，即所有旋轉的群，亦記作$\infty \infty$或$K$。
• 正交群$O(3)$，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作$\infty \infty \mathrm {m}$或$K_{\mathrm {h} }$。

如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有$K$對稱性，則必有$K_{\mathrm {h} }$對稱性。

軌形記號與階

若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於$2$除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將$2$減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

• 無${}^{*}$或在${}^{*}$之前的$n$，值為$(n-1)/n$；
• 在${}^{*}$之後的$n$，值為$(n-1)/(2n)$；
• ${}^{*}$與$\times$計為$1$。

此公式同樣適用於壁紙群與帶群：對該等群，特徵數之和為$2$，所以階數是無窮大。亦見壁紙群條目。

反射考克斯特群

三維考克斯特群的基本域

$A_{3},\ [3,3],$	$B_{3},\ [4,3],$	$H_{3},\ [5,3],$
$6$塊鏡	$3+6$塊鏡	$15$塊鏡
$2A_{1},\ [1,2],$	$3A_{1},\ [2,2],$	$A_{1}A_{2},\ [2,3],$
$2$塊鏡	$3$塊鏡	$4$塊鏡
$A_{1},\ [1],$	$2A_{1},\ [2],$	$A_{2},\ [3],$
$1$塊鏡	$2$塊鏡	$3$塊鏡

三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形或半球面。在考克斯特記號，該些群是正四面體對稱$[3,3]$、正八面體對稱$[4,3]$、正二十面體對稱$[5,3]$、二面體對稱$[p,2]$。不可約群的鏡面數是$nh/2$，其中$h$是群的考克斯特數，而$n$是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。

熊夫利記號	考克斯特－ 鄧肯圖標籤	考克斯特記號		群階	考克斯特數 （$h$）	鏡數 （$m$）
多面體群
$T_{\mathrm {d} }$	$A_{3}$		$[3,3]$	$24$	$4$	$6$
$O_{\mathrm {h} }$	$B_{3}$		$[4,3]$	$48$	$6$	$3+6$
$I_{\mathrm {h} }$	$H_{3}$		$[5,3]$	$120$	$10$	$15$
二面體群
$D_{1\mathrm {h} }$	$2A_{1}$		$[1,2]$	$4$		$1+1$
$D_{2\mathrm {h} }$	$3A_{1}$		$[2,2]$	$8$		$2+1$
$D_{p\mathrm {h} }$	$I_{2}(p)A_{1}$		$[p,2]$	$4p$		$p+1$
循環群
$C_{2\mathrm {v} }$	$2A_{1}$		$[2]$	$4$		$2$
$C_{p\mathrm {v} }$	$I_{2}(p)$		$[p]$	$2p$	$p$	$p$
單鏡面
$C_{1\mathrm {v} }$	$A_{1}$		$[\ ]$	$2$		$1$

旋轉群

有限旋轉群，即$SO(3)$的有限子群，僅有：循環群$C_{n}$（正稜錐的旋轉群）、二面體群$D_{n}$（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、$T$（正四面體的旋轉群）、$O$（正八面體或正六面體的旋轉群）、$I$（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群$D_{3}$、$D_{4}$等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。

• 若物體的對稱類為$C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}$，則旋轉群為$C_{n}$。
• 若物體的對稱類為$D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }$，則旋轉群為$D_{n}$。
• 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即$T,\ O,\ I$之一。

當且僅當物體有手性時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用熊夫利記號、考克斯特記號，及括號內的軌形記號表示，旋轉群是：

反射	反射/旋轉	瑕旋轉	旋轉
$C_{n\mathrm {v} },\ [n],\ (^{*}nn)$	$C_{n\mathrm {h} },\ [n^{+},2],\ (n^{*})$	$S_{2n},\ [2n^{+},2^{+}],\ (n\times )$	$C_{n},\ [n]^{+},\ (nn)$
$D_{n\mathrm {h} },\ [2,n],\ (^{*}n22)$	$D_{n\mathrm {d} },\ [2^{+},2n],\ (2^{*}n)$		$D_{n},\ [2,n]^{+},(n22)$
$T_{\mathrm {d} },\ [3,3],\ (^{*}332)$			$T,\ [3,3]^{+},\ (332)$
$O_{\mathrm {h} },\ [4,3],\ (^{*}432)$	$T_{\mathrm {h} },\ [3^{+},4],\ (3^{*}2)$		$O,\ [4,3]^{+},\ (432)$
$I_{\mathrm {h} },\ [5,3],\ (^{*}532)$			$I,\ [5,3]^{+},\ (532)$

旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演：

• $n$為偶數時，$C_{n\mathrm {h} }$及$D_{n\mathrm {h} }$、
• $n$為奇數時，$S_{2n}$及$D_{n\mathrm {d} }$（特別地，$S_{2}=C_{\mathrm {i} }$是僅由點反演生成的群，另有$D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }$屬於前項）、
• $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：

• $C_{n\mathrm {h} }$（$n$為偶）及$S_{2n}$（$n$為奇）對應$C_{n}$。
• $D_{n\mathrm {h} }$（$n$為偶）及$D_{n\mathrm {d} }$（$n$為奇）對應$D_{n}$。
• $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$分別對應$T,O,I$。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：

• $C_{n\mathrm {v} }$、
• $n$為奇數時，$C_{n\mathrm {h} }$及$D_{n\mathrm {h} }$、
• $n$為偶數時，$S_{2n}$及$D_{n\mathrm {d} }$、
• $T_{\mathrm {d} }$。

上述各群分別對應一個旋轉群$H$及其指標$2$的子群$L$，使得該群是由$H$的元素，加上$H\setminus L$經點反演後的元素得到，如上文所述：

• $C_{n}$是$D_{n}$的指標$2$子群，對應$C_{n\mathrm {v} }$。
• $C_{n}$是$C_{2n}$的指標$2$子群，$n$為奇時對應$C_{n\mathrm {h} }$，$n$為偶時則對應$S_{2n}$。
• $D_{n}$是$D_{2n}$的指標$2$子群，$n$為奇時對應$D_{n\mathrm {h} }$，$n$為偶時對應$D_{n\mathrm {d} }$。
• $T$是$O$的指標$2$子群，對應$T_{\mathrm {d} }$。

極大對稱群

離散點群中，$O_{\mathrm {h} }$和$I_{\mathrm {h} }$並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是$T_{\mathrm {h} }$。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得$O_{\mathrm {h} }$，亦可加入五重旋轉對稱而得$I_{\mathrm {h} }$。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：$O_{\mathrm {h} }$與$D_{6\mathrm {h} }$。視乎方向，其極大公共子群為$D_{3\mathrm {d} }$或$D_{2\mathrm {h} }$。

按抽象群同構分類

下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：$8$階的四元群、$9$階的$Z_{3}\times Z_{3}$、$12$階的雙循環群$\mathrm {Dic} _{3}$，以及十四個$16$階群的其中十個。

下表中，「$2$階元素數」一列，數算$C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }$三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

循環群

$n$重旋轉對稱的對稱群為$C_{n}$。其抽象同構類是循環群$Z_{n}$，亦可記作$C_{n}$。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：

• 對於偶階數$2n$，瑕旋轉群$S_{2n}$（熊夫利記號），生成元為繞某軸$180^{\circ }/n$的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。$S_{2}$也記為$C_{\mathrm {i} }$，由點反演生成。
• 對於奇數$n$，有階數$2n$的群$C_{n\mathrm {h} }$。該群有一條$n$重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸$360^{\circ }/n$的旋轉，及該鏡射。$C_{1\mathrm {h} }$又可記作$C_{\mathrm {s} }$，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

階數	等距變換群	抽象群	$2$階元素數	環圖
$1$	${\boldsymbol {C_{1}}}$	$Z_{1}$	$0$
$2$	${\boldsymbol {C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}}$	$Z_{2}$	$1$
$3$	${\boldsymbol {C_{3}}}$	$Z_{3}$	$0$
$4$	${\boldsymbol {C_{4},S_{4}}}$	$Z_{4}$	$1$
$5$	$C_{5}$	$Z_{5}$	$0$
$6$	${\boldsymbol {C_{6},S_{6},C_{3\mathrm {h} }}}$	$Z_{6}\cong Z_{3}\times Z_{2}$	$1$
$7$	$C_{7}$	$Z_{7}$	$0$
$8$	$C_{8},S_{8}$	$Z_{8}$	$1$
$9$	$C_{9}$	$Z_{9}$	$0$
$10$	$C_{10},S_{10},C_{5\mathrm {h} }$	$Z_{10}\cong Z_{5}\times Z_{2}$	$1$
$\vdots$

二面群

二維二面體群$D_{n}$有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以$D_{n}$表示的對稱群，有$n$條二重軸，與$n$重的主旋轉軸垂直，但無反射。$D_{n}$是正$n$稜柱、正雙$n$角錐、正$n$角反稜柱、$n$方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令$D_{n}$為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群$\mathrm {Dih} _{n}$，亦可照樣記為$D_{n}$。但除$D_{n}$外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

• $C_{n\mathrm {v} }$，階為$2n$，是正$n$稜錐的對稱群；
• $D_{n\mathrm {d} }$，階為$4n$，是正$n$角反稜柱的對稱群；
• 對應奇數$n$的群$D_{n\mathrm {h} }$，其階為$4n$。當$n=1$時，等同$D_{2}$，已於上文討論，故此處可取$n\geq 3$。

注意有以下同構：

$\mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.$

於是可以整理出下表：（有$12$個晶體學點群用粗體標示，另$D_{1\mathrm {d} }$寫成等價的$C_{2\mathrm {h} }$）

階數	等距變換群	抽象群	$2$階元素數	環圖
$4$	${\boldsymbol {D_{2},C_{2\mathrm {v} },C_{2\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{2}\cong Z_{2}\times Z_{2}$	$3$
$6$	${\boldsymbol {D_{3},C_{3\mathrm {v} }}}$	$\mathrm {Dih} _{3}$	$3$
$8$	${\boldsymbol {D_{4},C_{4\mathrm {v} },D_{2\mathrm {d} }}}$	$\mathrm {Dih} _{4}$	$5$
$10$	$D_{5},C_{5\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{5}$	$5$
$12$	${\boldsymbol {D_{6},C_{6\mathrm {v} },D_{3\mathrm {d} },D_{3\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{6}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}$	$7$
$14$	$D_{7},C_{7\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{7}$	$7$
$16$	$D_{8},C_{8\mathrm {v} },D_{4\mathrm {d} }$	$\mathrm {Dih} _{8}$	$9$
$18$	$D_{9},C_{9\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{9}$	$9$
$20$	$D_{10},C_{10\mathrm {v} },D_{5\mathrm {h} },D_{5\mathrm {d} }$	$\mathrm {Dih} _{10}\cong \mathrm {Dih} _{5}\times Z_{2}$	$11$
$\vdots$

其他

$C_{2n\mathrm {h} }$的階數為$4n$，同構於抽象群$Z_{2n}\times Z_{2}$。在$n=1$時，$C_{2n\mathrm {h} }$等同$\mathrm {Dih} _{2}$，已於上小節討論，故本小節僅考慮$n\geq 2$的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	$2$階元素數	環圖
$8$	${\boldsymbol {C_{4\mathrm {h} }}}$	$Z_{4}\times Z_{2}$	$3$
$12$	${\boldsymbol {C_{6\mathrm {h} }}}$	$Z_{6}\times Z_{2}\cong Z_{3}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{3}\times \mathrm {Dih} _{2}$	$3$
$16$	$C_{8\mathrm {h} }$	$Z_{8}\times Z_{2}$	$3$
$20$	$C_{10\mathrm {h} }$	$Z_{10}\times Z_{2}\cong Z_{5}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{5}\times \mathrm {Dih} _{2}$	$3$
$\vdots$

$D_{n\mathrm {h} }$的階數為$4n$，同構於抽象群$\mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$。對於奇數$n$，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為$8n$的群$D_{2n\mathrm {h} }$，其抽象群類別為$\mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}$。（$n\geq 1$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	$2$階元素數	環圖
$8$	${\boldsymbol {D_{2\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{2}\times Z_{2}\cong Z_{2}^{3}$	$7$
$16$	${\boldsymbol {D_{4\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{4}\times Z_{2}$	$11$
$24$	${\boldsymbol {D_{6\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{6}\times Z_{2}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}^{2}$	$15$
$32$	$D_{8\mathrm {h} }$	$\mathrm {Dih} _{8}\times Z_{2}$	$19$
$\vdots$

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	$2$階元素數	環圖
$12$	${\boldsymbol {T}}$	$A_{4}$	$3$
$24$	${\boldsymbol {T_{\mathrm {d} },O}}$	$\definecolor {linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706,0.6784}\color {linkblue}{S_{4}}$	$9$
$24$	${\boldsymbol {T_{\mathrm {h} }}}$	$A_{4}\times Z_{2}$	$7$
$48$	${\boldsymbol {O_{\mathrm {h} }}}$	$S_{4}\times Z_{2}$	$19$
$60$	$I$	$A_{5}$	$15$
$120$	$I_{\mathrm {h} }$	$A_{5}\times Z_{2}$	$31$

基本域

四角化菱形三十面體

二十面體對稱的反射面與單位球面交於若干大圓，將球面分成$120$個球面直角三角形的基本域。

點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

二元多面體群

考慮三維旋量群$\mathrm {Spin} (3)$到旋轉群$SO(3)$的二重覆疊投映。由於$\mathrm {Spin} (3)$已是單連通，故為$SO(3)$僅有的非平凡連通覆疊。

由子群的對應，$\mathrm {Spin} (3)$與$SO(3)$的子群（即旋轉點群）之間有伽羅瓦連接：$\mathrm {Spin} (3)$子群投映到$SO(3)$，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是$\mathrm {Spin} (3)$的子群。注意$\mathrm {Spin} (3)$可以等價描述成特殊酉群$SU(2)$，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面$S^{3}$。

有限點群的原像稱為二元多面體群，記作$\langle l,n,m\rangle$，與多面體群$(l,m,n)$對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群$(2,3,5)$的原像，便是二元二十面體群$\langle 2,3,5\rangle$。

二元多面體群為：

• $A_{n}$: 正$n$邊形的二元循環群，階數$2n$。
• $D_{n}$: 正$n$邊形的二元二面體群$\langle 2,2,n\rangle$，階數$4n$。
• $E_{6}$: 二元四面體群$\langle 2,3,3\rangle$，階數$24$。
• $E_{7}$: 二元八面體群$\langle 2,3,4\rangle$，階數$48$。
• $E_{8}$: 二元二十面體群$\langle 2,3,5\rangle$，階數$120$。

該些群能按ADE分類，而$\mathbb {C} ^{2}$在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點。

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在$\mathrm {Spin} (3)\to SO(3)$映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是射影多面體的對稱群。球面確實覆疊射影空間（以及透鏡空間），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

參見

• 球對稱群列表
• 化學常用三維點群的特徵標表
• 二維點群
• 四維點群
• 對稱——經某種變換後仍與原先相同
• 歐氏平面等距變換
• 群作用——在一些集合上從一組到一組雙射的同態
• 點群——幾何學中，保持某一點不動的等距變換的群
• 晶系——空間群、格、點群、晶體的分類
• 空間群——空間中，某結構的對稱群（空間群列表）
• 小群列表
• 分子對稱性——維持化學分子形狀不變的空間變換

參考文獻

• Coxeter, H. S. M. 7 The Binary Polyhedral Groups [第7章：二元多面體群]. Regular Complex Polytopes [正複多胞形]. Cambridge University Press. 1974: 73–82 （英語）. 
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. 6.5 The binary polyhedral groups [第6.5節：二元多面體群]. Generators and Relations for Discrete Groups [離散群的生成元與關係] 4th edition. New York: Springer-Verlag. 1980: 68. ISBN 0-387-09212-9 （英語）.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups [二維群的軌形記號]. Structural Chemistry (Springer Netherlands). 2002, 13 (3): 247–257. S2CID 33947139. doi:10.1023/A:1015851621002 （英語）. 

外部鏈結

• 32個晶體學點群的圖像概覽. （原始內容存檔於2012-02-04） （英語）. ——顯示七個無窮序列的前幾項（跳過$n=5$），以及其餘七個多面體群之五。
• 點群性質概覽. [2021-09-17]. （原始內容存檔於2021-06-16） （英語）. 
• Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type [每種對稱型的最簡典範多面體]. （原始內容存檔於2008-03-16） （英語）. 
• Wei, Yi-Shu. Point Groups and Crystal Systems [點群與晶系] (PDF): 4–6. （原始內容 (PDF)存檔於2012-10-24） （英語）. 
• Levy, Silvio. 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) [第10.1節 笛卡爾坐標系中對稱的公式（三維）]. Geometry Formulas and Facts [幾何公式與事實]. The Geometry Center. [2021-09-17]. （原始內容存檔於2021-04-18） （英語）.