積分判別法,又稱柯西積分判別法、麥克勞林-柯西判別法,是判斷一個實級數或數列收斂的方法。當
非負遞減時,級數
收歛若且唯若積分
有限。在17、18世紀,馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西發展了這個方法。
考慮如下積分

注意
單調遞減,因此有:

進一步地,考慮如下求和:

中間項的和為:

對上述不等式取極限
,有:

因此,若積分
收斂,則無窮級數
收斂;若積分發散,則此級數發散。
調和級數
是發散的,因為它的原函數是自然對數:
,當
時。
而級數
則對所有的ε > 0都是收斂的,因為:
,對於所有
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073