积分判别法,又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法,是判断一个实级数或数列收敛的方法。当
非负递减时,级数
收敛当且仅当积分
有限。在17、18世纪,马克劳林和奥古斯丁·路易·柯西发展了这个方法。
考虑如下积分

注意
单调递减,因此有:

进一步地,考虑如下求和:

中间项的和为:

对上述不等式取极限
,有:

因此,若积分
收敛,则无穷级数
收敛;若积分发散,则此级数发散。
调和级数
是发散的,因为它的原函数是自然对数:
,当
时。
而级数
则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:
,对于所有
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073