黎曼-勒貝格定理

在數學分析中，黎曼-勒貝格定理（或黎曼-勒貝格引理、黎曼-勒貝格積分引理）是一個傅里葉分析方面的結果。這個定理有兩種形式，分別是關於周期函數（傅里葉理論中關於傅里葉級數的方面）和關於在一般實數域$\mathbb {R}$上定義的函數（傅里葉變換的方面）。在任一種形式下，定理都說明了可積函數在傅里葉變換後的結果在無窮遠處趨於0。這個結果也可以適用於局部緊緻的阿貝爾群。

歷史

圖1. 黎曼-勒貝格定理說明了圖中藍色的部分的面積減去黃色部分的面積在頻率增大的時候趨向於0，也就是說，兩種顏色的面積趨於相等。

波恩哈德·黎曼發表這個定理的最初版本是在公元1854年，作為他為哥廷根大學的特許任教資格進行的答辯的關於三角級數的論文《論函數之三角級數表示》（Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe）中的一部分。在這一篇答辯論文中，黎曼首先定義了現在以他的名字命名的黎曼積分。在黎曼積分的理論基礎上，黎曼得出了許多與傅里葉級數相關的結果，其中包括了黎曼-勒貝格定理。在黎曼逝世後的第二年（1867年），這篇答辯論文被收錄在《黎曼著作集》中發表，1873年被翻譯成法語。

定理的敘述

實數函數

設 $f$ 為一個在實數域$\mathbb {R}$的區間$I$上定義的L¹可積函數，取值為實數或複數。那麼有

$\lim _{s\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-ist}\,dt=0$

在傅里葉分析中，可以將定理中的表達式變成相關的概念。

• 當區間$\mathbb {I}$是$[0,2\pi ]$的時候，黎曼-勒貝格定理變為

$\lim _{n\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-int}\,dt=0$

其中的n是整數。因此，對於周期是 $2\pi$ 的局部可積的周期函數，其對應的傅里葉級數的係數$c_{n}(f)$在n趨於正無窮或負無窮時都會趨於0。比如說對於分段連續的函數，以上結果就是成立的。

• 當區間$\mathbb {I}$包括了整個實數軸$(-\infty ,\infty )$的時候，黎曼-勒貝格定理則說明函數的傅里葉變換在無窮遠處等於0。

$\lim _{s\to \pm \infty }{\hat {f}}(s)=\lim _{s\to \pm \infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-ist}\,dt=0$

抽象調和分析

設 $G$ 為一個局部緊緻的阿貝爾群（空間的可分性已經被緊性保證），而 ${\hat {G}}$ 為其對偶群。給定一個定義域為 $G$，而取值為實數或複數域的函數 $f$，並假設 $f$ 在哈爾測度下在 $G$ 上可積。那麼 $f$ 的傅里葉變換在 ${\hat {G}}$ 的無窮遠處為0。

證明

定理的證明大致是基於一類基本或初等的函數在可積函數集合 ${\mathsf {L}}^{1}(\mathbb {R} )$ 中的稠密性。這些函數都是能夠簡單的推出定理的成立，例如階梯函數或足夠光滑的函數（如$C^{1}$的函數）。

證明的思路是首先證明對一類簡單的函數定理成立，然後再利用這一類函數在可積函數函數集合中的稠密性，將每個可積函數看成是一列此類函數的極限，於是由函數的可積性可以使用勒貝格控制收斂定理，證明對於一般可積函數的情況。 例如，對於在某個區間[a, b]上連續可導的函數（即$C^{1}$的函數），運用分部積分法可以很容易地證明定理成立。運用分部積分法可以得到：

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t={\frac {i}{s}}f(b)e^{-isb}-{\frac {i}{s}}f(a)e^{-isa}-{\frac {i}{s}}\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t$

${\begin{aligned}\left\|\int _{a}^{b}f(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|&={\frac {1}{s}}\left\|f(b)e^{-isb}-f(a)e^{-isa}-\int _{a}^{b}f'(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\right\|\\&\leq {\frac {1}{s}}\left(\left\|f(b)\right\|+\left\|f(a)\right\|+\int _{a}^{b}\left\|f'(t)\right\|\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}$

由於 $f$ 是$C^{1}$的函數，$f'$ 有界，於是以上括號中的三項都是有限的，因此當 $s$ 趨於無窮的時候，式子趨於0。

對於階梯函數，經過類似的計算，也可以容易地證明定理成立。而由於緊支撐的階梯函數的集合（或$C^{1}$函數的集合）在所有可積函數集合${\mathsf {L}}^{1}(\mathbb {R} )$中是稠密的，於是只要將每個可積函數 $f$ 看成是一列緊支撐階梯函數（或$C^{1}$函數）的極限，那麼根據勒貝格控制收斂定理，就有：

${\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }\int _{I}f(t)e^{-ist}\mathrm {d} t&=\lim _{s\to \infty }\int _{I}\lim _{n\to \infty }f_{n}(t)e^{-ist}\mathrm {d} t=\lim _{s\to \infty }\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t\\&=\lim _{n\to \infty }\lim _{s\to \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-ist}\,\mathrm {d} t=0\end{aligned}}$