高斯求積

提示：此條目的主題不是高斯積分。

高斯求積，又稱高斯數值積分，（英語：Gaussian quadrature），是以德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯所命名的一種數值積分中的求積規則。

當我們要求解某個函數的積分$\int _{-1}^{1}f(x)dx$ ，其數值解可以由$\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$近似，其中$w_{i},i=1...n$為權重。高斯求積僅當函數$f(x)$可以由在區間$[-1,1]$上的多項式近似時才能獲得準確的近似解，且這種方法並不適用於函數具有奇異點的情況。於是乎，我們可以把函數$f(x)$寫作$f(x)=W(x)g(x)$，其中$g(x)$是近似多項式，$W(x)$是已知的權重函數，這樣我們就有

$\int _{-1}^{1}f(x)dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g(x_{i})$。

常用的權重函數有

$W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}$（高斯切比雪夫）

以及

$W(x)=e^{-x^{2}}$（高斯埃米特）。

高斯勒讓得求積

對於上述的最簡單的積分形式，即權重函數$W(x)=1$時，關聯多項式為勒讓得多項式$P_{n}(x)$，這種方法通常稱為高斯勒讓德求積，此時權重函數為下式，

$w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}'(x_{i})^{2}]}}$

$x_{i}$為$P_{n}(x)$的第$i$個根。

$P_{n}(x)=\prod _{1\leq i\leq n}(x-x_{i})$

對於求解低階積分，選擇的點的數目、位置和權重如下表所示。

點的數目, n	點的位置, xi	權重, wi
1	0	2
2	$\pm 1/{\sqrt {3}}$	1
3	0	8⁄9
	$\pm {\sqrt {3/5}}$	5⁄9
4	$\pm {\tfrac {\sqrt {525-70{\sqrt {30}}}}{35}}$	${\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
	$\pm {\tfrac {\sqrt {525+70{\sqrt {30}}}}{35}}$	${\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
5	0	128⁄225
	$\pm {\tfrac {\sqrt {245-14{\sqrt {70}}}}{21}}$	${\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
	$\pm {\tfrac {\sqrt {245+14{\sqrt {70}}}}{21}}$	${\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

變區間法則

在使用高斯求積的時候必須要將積分區間$[a,b]$變換到$[-1,1]$，可利用變數變換得：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx$

對應的高斯求積近似式為

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)$

其他形式

對於如下的通用積分式來說，

$\int _{a}^{b}w(x)f(x)dx$

當$a=-1$，$b=1$，$w(x)=1$時，即為上述內容。我們還可以用別的積分規則，如下表所示。

區間	ω(x)	正交多項式
[−1, 1]	$1\,$	勒讓德多項式
(−1, 1)	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,$	雅可比多項式
(−1, 1)	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	切比雪夫多項式 (第一類)
[−1, 1]	${\sqrt {1-x^{2}}}$	切比雪夫多項式 (第二類)
[0, ∞)	$e^{-x}\,$	拉蓋爾多項式
(−∞, ∞)	$e^{-x^{2}}$	埃爾米特多項式