高斯求积

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高斯求积，又称高斯数值积分，（英语：Gaussian quadrature），是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。

当我们要求解某个函数的积分$\int _{-1}^{1}f(x)dx$ ，其数值解可以由$\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$近似，其中$w_{i},i=1...n$为权重。高斯求积仅当函数$f(x)$可以由在区间$[-1,1]$上的多项式近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数$f(x)$写作$f(x)=W(x)g(x)$，其中$g(x)$是近似多项式，$W(x)$是已知的权重函数，这样我们就有

$\int _{-1}^{1}f(x)dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g(x_{i})$。

常用的权重函数有

$W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}$（高斯切比雪夫）

以及

$W(x)=e^{-x^{2}}$（高斯埃米特）。

高斯勒让得求积

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数$W(x)=1$时，关联多项式为勒让得多项式$P_{n}(x)$，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，

$w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}'(x_{i})^{2}]}}$

$x_{i}$为$P_{n}(x)$的第$i$个根。

$P_{n}(x)=\prod _{1\leq i\leq n}(x-x_{i})$

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n	点的位置, xi	权重, wi
1	0	2
2	$\pm 1/{\sqrt {3}}$	1
3	0	8⁄9
	$\pm {\sqrt {3/5}}$	5⁄9
4	$\pm {\tfrac {\sqrt {525-70{\sqrt {30}}}}{35}}$	${\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
	$\pm {\tfrac {\sqrt {525+70{\sqrt {30}}}}{35}}$	${\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
5	0	128⁄225
	$\pm {\tfrac {\sqrt {245-14{\sqrt {70}}}}{21}}$	${\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
	$\pm {\tfrac {\sqrt {245+14{\sqrt {70}}}}{21}}$	${\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

变区间法则

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间$[a,b]$变换到$[-1,1]$，可利用变数变换得：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx$

对应的高斯求积近似式为

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)$

其他形式

对于如下的通用积分式来说，

$\int _{a}^{b}w(x)f(x)dx$

当$a=-1$，$b=1$，$w(x)=1$时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。

区间	ω(x)	正交多项式
[−1, 1]	$1\,$	勒让德多项式
(−1, 1)	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,$	雅可比多项式
(−1, 1)	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1]	${\sqrt {1-x^{2}}}$	切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)	$e^{-x}\,$	拉盖尔多项式
(−∞, ∞)	$e^{-x^{2}}$	埃尔米特多项式