非結合代數

非結合代數^[1]^{:Chapter 1}（或分配代數，distributive algebra）是域上的代數，其中乘法不必遵循結合律。即，有代數結構A、域K，若A是K上配備K-雙線性乘法 $A\times A\to A$ （不必符合結合律）的向量空間，則稱其為K上的非結合代數。例如李代數、約爾丹代數、八元數、具備叉積的3維歐氏空間。由於乘法不必結合，須用括號表示乘法的順序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含義是不一樣的。

這裡的「非結合」是說不必結合，而非必不結合，就像非交換環的「非交換」是說「不必交換」。

若代數有單位元e，使得 $\forall x,\ ex=x=xe$ ，則稱代數是含幺的或酉的。例如，八元數是含幺的，而李代數絕不含幺。

A的非結合代數結構可與A的K-自同態的全代數的子代數（是結合代數）相關聯，作為K-向量空間研究。兩個例子是微分代數與（結合）包絡代數，後者有「包含A的最小結合代數」的意味。

更一般地，有人提出交換環R上非結合代數的概念：具備R-雙線性乘法的R-模。^[1]^:1若一結構服從除結合律外所有環的公理（如R代數），則就自然是 $\mathbb {Z}$ -代數，所以有人稱非結合 $\mathbb {Z}$ -代數為非結合環。

滿足恆等式的代數

具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類，難以一同研究。所以，最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式（即性質），這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。

一般性質

令x, y, z表示域K上代數A的任意元素。正整數次冪可以遞歸地定義為 $x^{1}:=x;\ x^{n+1}:=x^{n}x$ ^[2]^:553（右冪）或 $x^{n+1}:=xx^{n}$ ^[1]^:30^[1]^:128（左冪）。

含幺：存在元素e使得 $ex=x=xe$ ；這時可以定義 $x^{0}:=e.$
結合性： $(xy)z=x(yz).$
交換性： $xy=yx.$
反交換性：^[1]^:3 $xy=-yx.$
雅可比恆等式：^[1]^:3^[3]^:12 $(xy)z+(yz)x+(zx)y=0;\ x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.$
約爾丹恆等式：^[1]^:91^[3]^:13 $(x^{2}y)x=x^{2}(yx);\ (xy)x^{2}=x(yx^{2}).$
交替性：^[1]^:5^[3]^:18^[4]^:153 $(xx)y=x(xy)$ （左交替）； $(yx)x=y(xx)$ （右交替）。
柔性：^[1]^:28^[3]^:16 $(xy)x=x(yx)$ 。
n次冪結合性（n ≥ 2）： $\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{n}$ $\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{n}$ ，其中k是整數。
- 三次冪結合性： $x^{2}x=xx^{2}.$
- 四次冪結合性： $x^{3}x=x^{2}x^{2}=xx^{3}$ （比較下面的「四次冪交換性」）。
冪結合性：^[1]^:30^[1]^:128^[3]^:17^[5]^:451^[2]^:553任意元素生成的子代數結合，即對n ≥ 2，有n次冪結合。
n次冪交換性，其中n ≥ 2： $\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{k}x^{n-k}$ $\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{k}x^{n-k}$ ，其中k是整數。
- 三次冪交換性： $x^{2}x=xx^{2}$ 。
- 四次冪交換性： $x^{3}x=xx^{3}$ （比較上面的「四次冪結合性」'）。
冪交換性：任意元素生成的子代數交換，即n次冪交換（n ≥ 2）。
索引n ≥ 2的冪零：任意n個元素之積，在任意結合次序下為零，但n−1個元素時不總成立： $x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=0,\ \exists n-1$ 個元素y使得在某結合次序下 $y_{1}y_{2}\ldots y_{n-1}\neq 0.$
索引n ≥ 2的零：冪結合性、 $x^{n}=0$ ，存在元素y使得 $y^{n-1}\neq 0.$

性質之間的關係

對特徵任意的K：

結合性推出交替性。
左交替、右交替、柔性知二推三。
- 因此交替性推出柔性。
交替性推出約爾丹恆等式。^[6]^:91^[a]
交換性導出柔性。
反交換性導出柔性。
交替性導出冪結合性。^[a]
柔性導出三次冪結合性。
二次冪結合和二次冪交換為真。
三次冪結合和三次冪交換等價。
n次冪結合推出n次冪交換。
索引2的零推出反交換性。
索引2的零推出約爾丹恆等式。
索引3的冪零推出雅可比恆等式。
索引n的冪零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
含幺與索引n的零不相容。

若 $K\neq {\rm {GF}}(2)$ 或 ${\rm {dim}}(A)\leq 3:$

約爾丹恆等式與交換性共同推出冪結合性。^[7]^:36^[1]^:92^[8]^:710

若 ${\rm {char}}(K)\neq 2:$

右交替性推出冪結合性。^[9]^:319^[10]^:179^[11]^:343^[1]^:148
- 相似地，左交替性推出冪結合性。
含幺與約爾丹恆等式共同推出柔性。^[12]^:18
約爾丹恆等式與柔性共同推出冪結合性。^[12]^{:18–19,fact 6}
交換性與反交換性共同推出索引2的冪零。
反交換性推出索引2的零。
含幺與反交換不相容。

若 ${\rm {char}}(K)\neq 3$ ：

含幺和雅克比恆等式不相容。

若 ${\rm {char}}(K)\notin \{2,3,5\}:$

交換性與 $x^{4}=x^{2}x^{2}$ （定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。^[2]^{:554,lemma 4}

若 ${\rm {char}}(K)=0:$

三次冪結合性與 $x^{4}=x^{2}x^{2}$ （定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。^[2]^{:554,lemma 3}

若 ${\rm {char}}(K)=2:$

交換性與反交換性等價。

結合子

A上的結合子是K-線性映射 $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ ：

[x,\ y,\ z]=(xy)z-x(yx)

它度量了A非結合的程度，可以很方便地表示一些A滿足的式子。

令x, y, z表示域代數的任意元素。

結合律： $[x,\ y,\ z]=0.$
交替性： $[x,\ x,\ y]=0$ $[x,\ x,\ y]=0$ （左交替）及 $[y,\ x,\ x]=0$ $[y,\ x,\ x]=0$ （右交替）。
- 這意味着交換任意兩項都會變號： $[x,\ y,\ z]=-[x,\ z,\ y]=-[z,\ y,\ x]=-[y,\ x,\ z].$ 反例僅當 ${\rm {char}}(K)\neq 2.$
柔性： $[x,\ y,\ x]=0.$ $[x,\ y,\ x]=0.$
- 可知，交換極值項將變號： $[x,\ y,\ z]=-[z,\ y,\ x].$ 反例僅當 ${\rm {char}}(K)\neq 2.$
約爾丹恆等式：^[1]^:14 $[x^{2},\ y,\ x]=0$ 或 $[x,\ y,\ x^{2}]=0$ ，取決於學者。
三次冪結合性： $[x,\ x,\ x]=0.$

核是與其他元素結合的元素的集合，^[4]^:56即 $n\in A$ ，使得

[n,\ A,\ A]=[A,\ n,\ A]=[A,\ A,\ n]=0.

核是A的結合子環。

中心

A的中心是與A中所有元素都交換、結合的元素的集合，即

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

與核之交。對C(A)中的元素， $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ 中兩個集合若是 $\{0\}$ ，則第三個集合也是零集。

例子

歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}$ ，乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。
李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。
微分流形上的向量場代數（若K是R或C）或代數簇（對一般的K）；
約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。^[3]^:13
結合代數都可通過以交換子為李括號，給出李代數。實際上，李代數要麼可以這樣構造，要麼是這樣構造的李代數的子代數。
定義新的乘法 $x^{*}y=(xy+yx)/2$ ，則特徵不是2的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同，只有一部分約爾丹代數能這樣構造，稱作特殊約爾丹代數。
交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數（實數上的代數），以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上，僅有的有限維實交替除代數（下詳）是實數、複數、四元數和八元數。
冪結合代數，是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF(2)以外任意域上的約爾丹代數（上詳）與十六元數。
R上的雙曲四元數代數，是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。

更多種類代數：

分次代數，包括大部分對多重線性代數具有重大意義的代數，如張量代數、對稱代數、給定向量空間上的外代數等等。分次代數可推廣到濾子代數。
除代數，其中存在乘法逆元。實數域上有限維交替除代數的分類已完成。有實數（1維）、複數（2維）、四元數（4維）、八元數（8維）。四元數和八元數不交換；八元數不結合。
二次代數要求 $xx=re+sx$ ，其中r、s屬於底域（ground field），e是代數的單位。例子如有限維交替代數、實2階方陣代數。在同構的意義上，沒有零的除子的交替、二次實代數只有實數、複數、四元數和八元數。
凱萊–迪克森代數（其中K是R），始於：
- C（交換結合代數）；
- 四元數H（結合代數）；
- 八元數（交替代數）；
- 十六元數及凱萊-迪克森代數的無限序列（冪結合代數）。
超複數代數都是有限維含幺R-代數，於是包含凱萊-迪克森代數等等。
泊松代數見於幾何量子化。其中有2個乘法，以不同方式將其變為結合代數與李代數。
遺傳代數是非結合代數，在數學遺傳中使用。
三元系