子集

A是B的子集，B是A的超集。

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（∀a∈A，則a∈B），則集合A稱為集合B的子集，記為$A\subseteq B$或$B\supseteq A$，讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。

即：$\forall a\in A$，有$a\in B$，則$A\subseteq B$。

若$A$和$B$為集合，且$A$的所有元素都是$B$的元素，則可表示為：

• $A$是$B$的子集（或稱$A$包含於 $B$）；$A\subseteq B$
• $B$是$A$的父集／超集（或稱$B$包含 $A$）；$B\supseteq A$

任何集合$B$皆是本身的子集（$B\subseteq B$）。而$B$的子集中不等於$B$的集合，稱為真子集，若$A$是$B$的真子集，寫作$A\subsetneqq B$。

定義

假設有$A$和$B$兩個集合，如果$A$中的每個元素都在$B$中，則：

• $A$是$B$的子集，記作$A\subseteq B$

也可以說

• $B$是$A$的超集，記作$B\supseteq A$

如果$A$是$B$的子集，但$A$不等於$B$（即$B$中至少存在一個元素不在$A$集合中），則：

• $A$是$B$的真子集，記作$A\subsetneqq B$

也可以說

• $B$是$A$的真超集，記作$B\supsetneqq A$

符號

ISO 80000-2標準中定義了兩種符號搭配：

• $\subseteq$表示子集關係，$\subset$表示真子集關係。使用的作品
• $\subset$表示子集關係，$\subsetneqq$表示真子集關係。使用的作品

舉例

• 集合$\left\{1,2\right\}$是集合$\left\{1,2,3\right\}$的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合$\{x:x$是大於2000的素數$\}$是集合$\{x:x$是大於1000的奇數$\}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作$\varnothing$，是任意集合$X$的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

性質

A是B的子集。

命題1：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題2：若$A,B,C$是集合，則：

自反性：

• $A\subseteq A$

反對稱性：

• $A\subseteq B$且$B\subseteq A$當且僅當$A=B$

傳遞性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq C$則$A\subseteq C$

這個命題說明：對任意集合$S$，$S$的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若$A,B,C$是集合$S$的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• $\varnothing \subseteq A\subseteq S$（$\varnothing \subseteq A$由命題1給出）

存在並運算：

• $A\subseteq A\cup B$
• 若$A\subseteq C$且$B\subseteq C$則$A\cup B\subseteq C$

存在交運算：

• $A\cap B\subseteq A$
• 若$C\subseteq A$且$C\subseteq B$則$C\subseteq A\cap B$

命題4：對任意兩個集合$A$和$B$，下列表述等價：

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A-B=\varnothing$
• $B'\subseteq A'$

這個命題說明：表述"$A\subseteq B$"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

參見

• 冪集：某集合的全部子集組成的集合。