60的因数集
,按整除偏序
画成哈斯图。红色子集
有两个极大元3、4,和一个极小元1,同时也是最小元。但是,
没有最大元。
数学分支序理论中,最大元是某集合中,大于或等于其全体元素的特殊元素。最小元与之对偶,小于等于该集合的任何元素。例如,实数集
中,最大元是
,而最小元是
,但是区间
并无最大元或最小元。
此处“大小”关系除一般实数的大小关系外,也可以是定义在任意集合上的偏序或预序。
设
为偏序集(或预序集亦可),
为其子集。若
的元素
满足:
- 对
的任意元素
,皆有
,
则
称为
的最大元(英语:greatest element)。对偶地,若
的元素
满足:
- 对
的任意元素
,皆有
,
则
称为
的最小元(least element)。
由定义,
的最大(小)元必定是
的上(下)界。且若
为偏序集,则集合
至多得一个最大元:若
和
皆为最大,则由定义有
,又有
,由反对称性得
。所以若有最大元,则必定唯一。若改为预序集则不一定。
整个偏序集
的最大最小元又称为顶(top)和底(bottom)。顶常以符号记作
或
,底则是
或
,在有补格和布尔代数等结构中尤为常见。有顶和底的偏序集称为有界偏序集合。
集合不一定有最大元,也不一定有上界。即使集合有上界和上确界,也不一定有最大元。举例,实数系
中,任何正数皆是负数子集
的上界,且
为其上确界,但是没有最大元:不存在“最大的负数”。最小元与下界、下确界的关系也类似。最大元又与极大元(maximal element)不同:有极大元的集合不一定有最大元,但偏序集若有最大元,则同时亦是唯一的极大元。最小元与极小元(minimal element)亦不同。
设
为偏序集,
为其子集。
- 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
若有最大元
,则
必定是极大元。此时,
只有这一个极大元:对任意极大元
,由于
是最大元,必有
,从而由
极大知
。所以若
有多于一个极大元,则不能有最大元。
- 若
满足升链条件,则其子集
有最大元当且仅当其恰有一个极大元。
- “仅当”:最大元必然是极大元。
- “当”:假设
有唯一极大元
但没有最大元。因为
不是最大,有
与
不可比,又
不是极大,所以有某个
满足
。
与
也不可比:若
,则与
极大矛盾;反之
又推出
,与
、
不可比又矛盾。重复以上步骤,可得无穷递升链
(其中每个
皆与
不可比,又非极大),与升链条件矛盾。
假如
限制到子集
上为全序(如首段附图的
),则在
中,最大元与极大元等价:若
为极大,则对任意其他
,必有
(
将与
极大矛盾),故
是最大元。
所以,全序集中,最大元与极大元两个概念重合,有时也称为最大值(maximum),同理最小元与极小元也称为最小值(minimum)。但上述用法与实值函数论的用法略有出入。[2]研究实值函数时,所谓最大值是函数的值域的最大元,又称全域最大值、绝对最大值、最大值。[3]而限制到某点邻域时,对应值域的最大元(等同于极大元)则称为局域最大值、相对最大值、极大值。[4]最大最小值又合称最值,极值亦同。
集合
的最大最小值分别记作
。在格理论或概率论中,为方便运算,会将两数
之最大最小值(即其组成二元集的最大最小元)简记作并
和交
。换言之:
[5]
例2之哈斯图
- 实数集
中,全体整数组成的子集
没有上界,从而没有最大元。
- 如图所示,在集合
上,定义自反关系
使
。则
皆是集合
的上界,但因为不可比较,没有最小上界。又
不可比,
没有最大元。
- 有理数集
中,平方小于2的数所组成的子集
有上界(如
),但没有最大元,也没有上确界。
中,区间
有上确界
而没有最大元。但区间
有最大元
,同时也是上确界。
配备积偏序时[注 1],满足
(而
任意)的二元组
的集合
没有上界,也没有最大元。
- 但当
配备字典序时[注 2],
有上界
,但仍没有上确界和最大元。