大十二面體

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	動畫《遊戲人生》中星杯的外形

大十二面體
	; （點選觀看旋轉模型）
類別	星形正多面體; 星形十二面體
對偶多面體	小星形十二面體
識別
名稱	大十二面體
參考索引	U35, C44, W21
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gad
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{5,5/2}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	52 \| 2 5
性質
面	12
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=12, E=30, V=12 （χ=-6）
組成與佈局
面的種類	12個正五邊形{5}
面的佈局; （英語：Face configuration）	V(5/2)5
頂點圖	(55)/2
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
	頂點正、非凸
圖像
	; (55)/2; （頂點圖）
	; 小星形十二面體; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，大十二面體^[2]又稱為第二星形正十二面體^[3]^[4]，是一個由6對互相平行的正五邊形組成的非凸正多面體，同時也是一種星形正多面體^[5]，其外形有如內有星形圖案的正二十面體或每面內凹三角錐的正二十面體^[6]，是三種星形十二面體之一^[4]^[3]。其頂點的布局與正二十面體相同，但邊的連結方式不同，因此可以視為正二十面體經過刻面（英語：faceting）後的多面體^[2]，對偶多面體為小星形十二面體。這個多面體被認為是由路易·龐索（英語：Louis Poinsot）在1810年發現^[7]^[8]，雖然在溫佐·雅姆尼策爾（英語：Wenzel Jamnitzer）於1568年出版的著作《Perspectiva Corporum Regularium》中有一幅形狀非常類似大十二面體的圖畫^[9]。1983年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號W₂₁^[10]。

性質

大十二面體是4個非凸正多面體之一，具二十面體的對稱性^[11]，由12個面^[12]、30條邊和12個頂點所組成^[13]^[14]，其12個面皆為正五邊形面，其中12個五邊形中有6對互相平行的五邊形。其每個頂角都是由5個五邊形以五角星的路徑構成的五面角，因此在施萊夫利符號中可利用{5,5/2}來表示^[15]，意為此立體的所有頂角組成的面皆為五邊形（施萊夫利符號：{5}），並且以五角星（施萊夫利符號：{5/2}）的方式構成。而在考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）中則利用來表示^[16]。在抽象幾何學中，大十二面體對應到一個虧格為4的五階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,5}），同時，其對偶多面體小星形十二面體亦對應到相同的正則地區圖^[17]，因此這個正則地區圖是一個自身對偶的幾何結構。^[18]

星狀圖（英語：Stellation diagram）	外觀	星狀核	凸包
		正十二面體	正二十面體

面的組成

大十二面體由12個正五邊形面組成，每個正五邊形面都與另外5個正五邊形面互相相交，因此，其面有一部份是隱沒在圖形內部的，如下左圖，以白色表示，而露在外部的則以藍色表示^[5]。

大十二面體的面	同一個五邊形面以同一種顏色標示

二面角

大十二面體是一種星形正多面體^[19]，因此大十二面體僅有一種二面角，其值為五平方根倒數的反餘弦值^[20]：

\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }

頂點坐標

由於大十二面體的凸包為正二十面體^[2]，且無頂點落在凸包內，因此大十二面體的頂點坐標會與相同邊長的正二十面體相同，邊長為單位長、幾何中心在原點，則其為：^[21]

(0,\,\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm 1,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0)

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\,0,\,\pm 1)

。

圖像

透視模型	球面鑲嵌
（旋轉動畫）	此多面體可以表示成一個密鋪密度為3的球面鑲嵌（將其中一個五邊形面以表示）
展開圖	星狀圖
× 20 大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體，此時，多面體變為由20個凹三角錐組成^[6]，因此可以展開成60個鈍角等腰三角形。	其也等同於第二星形十二面體，其佔據了星形十二面體的胞中，由內算來第二層的所有星形胞，溫尼爾將其給予編號W₂₁。

使用

星形正多面體經常出現在藝術創作中，部分小說也有使用大十二面體進行創作，如《遊戲人生》^[23]。除了藝術創作外，常見文化也有關於大十二面體的使用，例如部分的魔術方塊之外型^[24]，以及其投影圖曾作為視覺化的相關實驗性教材^[25]。

在常見文化中

魔術方塊亞歷山大之星的外形也是大十二面體^[24]。

在小說中

在小說《遊戲人生》中，唯一神持有的星杯外形為大十二面體^[23]。

在電腦科學中

大十二面體也可以做為協助推算二元格雷碼（英語：Binary Golay code）的工具之一^[26]。

^ Robert Webb. Great Dodecahedron. software3d.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^3.0 ^3.1 Wenninger, M. J. Polyhedron Models. New York: Cambridge University Press. 1989: 35,38-40.
^ ^4.0 ^4.1 Weisstein, Eric W. (編). Dodecahedron Stellations. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^5.0 ^5.1 Richeson, D.S. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. 2008: 151. ISBN 9780691126777. LCCN 2008062108. ^{[永久失效連結]}
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 Hilton, P. and Pedersen, J. and Donmoyer, S. A Mathematical Tapestry: Demonstrating the Beautiful Unity of Mathematics. Cambridge University Press. 2010: 171 [2017-08-08]. ISBN 9781139489072. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ Louis Poinsot（英語：Louis Poinsot）, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
^ Senechal, M. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. EBSCOhost ebooks online. Springer New York. 2013: 60 [2017-09-07]. ISBN 9780387927145. LCCN 2013932331. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ Wenzel Jamnitzer. Perspectiva Corporum Regularium. 1568.
^ Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ Roman E. Maeder. 35: great dodecahedron. mathconsult.ch. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-02-14）.
^ great-dodecahedron. the universeis mental. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2017-08-07）.
^ Great Dodecahedron. bulatov.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ ^14.0 ^14.1 Gijs Korthals Altes. Paper Great Dodecahedron. korthalsaltes.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2017-06-12）.
^ Eric W. Weisstein. Great Dodecahedron. 密西根州立大學. 1999-05-25 [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ Buekenhout, F. and Cohen, A.M. Diagram Geometry: Related to Classical Groups and Buildings. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 2013. ISBN 9783642344534. LCCN 2013930009. ^{[永久失效連結]}
^ Stellation of Regular Maps. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-30]. （原始內容存檔於2021-08-23）.
^ S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].
^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
^ Kepler-Poinsot Solids: Great Dodecahedron. dmccooey.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ ^21.0 ^21.1 ^21.2 ^21.3 Data of Great Dodecahedron. dmccooey.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-02-14）.
^ 榎宮祐. NO GAME NO LIFE 遊戲人生[12]. 巴哈母特動畫瘋. [2017-09-07] （中文）.
^ ^23.0 ^23.1 榎宮祐. 《NO GAME NO LIFE 遊戲人生６》聽說遊戲玩家夫妻向世界挑戰了. 2014-04-25: 第330-331頁. EAN 4710945544663.
^ ^24.0 ^24.1 Alexander's Star - Jaap's Puzzle Page. jaapsch.net. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ THE GREAT DODECAHEDRON. transum.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ Baez, John "Golay code, （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" Visual Insight, December 1, 2015.
^ ^27.0 ^27.1 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover,. 1991: 103.
^ Weber, Matthias, Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface, Pacific J. Math., 2005, 220: 167–182 [2017-08-07], doi:10.2140/pjm.2005.220.167, （原始內容存檔於2021-03-05）
^ Weisstein, Eric W. (編). Truncated great dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Grünbaum, Branko（英語：Branko Grünbaum）, Unambiguous polyhedral graphs, Israel Journal of Mathematics, 1963, 1 (4): 235–238, MR 0185506, doi:10.1007/BF02759726
^ Grünbaum, Branko（英語：Branko Grünbaum）, Convex Polytopes, Wiley Interscience, 1967
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
^ Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
^ compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron. bulatov.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahedron-Small Stellated Dodecahedron Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

參考書目

Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
Coxeter, H. S. M. The Fifty-Nine Icosahedra. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. 1938. ISBN 0-387-90770-X.

[1] Robert Webb. Great Dodecahedron. software3d.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[mathworld-4] 2.0 ^2.1 ^2.2 Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[Polyhedron_Models,_Wenninger_1989-5] 3.0 ^3.1 Wenninger, M. J. Polyhedron Models. New York: Cambridge University Press. 1989: 35,38-40.

[mathworld,_Dodecahedron_Stellations-6] 4.0 ^4.1 Weisstein, Eric W. (編). Dodecahedron Stellations. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[richeson2008euler-7] 5.0 ^5.1 Richeson, D.S. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. 2008: 151. ISBN 9780691126777. LCCN 2008062108. ^{[永久失效連結]}

[hilton2010mathematical-8] 6.0 ^6.1 ^6.2 Hilton, P. and Pedersen, J. and Donmoyer, S. A Mathematical Tapestry: Demonstrating the Beautiful Unity of Mathematics. Cambridge University Press. 2010: 171 [2017-08-08]. ISBN 9781139489072. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[9] Louis Poinsot（英語：Louis Poinsot）, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.

[senechal2013shaping-10] Senechal, M. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. EBSCOhost ebooks online. Springer New York. 2013: 60 [2017-09-07]. ISBN 9780387927145. LCCN 2013932331. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[11] Wenzel Jamnitzer. Perspectiva Corporum Regularium. 1568.

[12] Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

[13] Roman E. Maeder. 35: great dodecahedron. mathconsult.ch. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-02-14）.

[14] reat-dodecahedron. the universeis mental. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2017-08-07）.

[bulatov.org-15] Great Dodecahedron. bulatov.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[Gijs_Korthals_Altes-16] 14.0 ^14.1 Gijs Korthals Altes. Paper Great Dodecahedron. korthalsaltes.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2017-06-12）.

[lib.msu.edu-17] Eric W. Weisstein. Great Dodecahedron. 密西根州立大學. 1999-05-25 [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[book_buekenhout_2013_diagram-18] Buekenhout, F. and Cohen, A.M. Diagram Geometry: Related to Classical Groups and Buildings. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 2013. ISBN 9783642344534. LCCN 2013930009. ^{[永久失效連結]}

[19] Stellation of Regular Maps. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-30]. （原始內容存檔於2021-08-23）.

[Regular_Map_small_stellated_dodecahedron,_great_dodecahedron_embedded-20] S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].

[21] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra

[dmccooey-22] Kepler-Poinsot Solids: Great Dodecahedron. dmccooey.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[dmccooeydata-23] 21.0 ^21.1 ^21.2 ^21.3 Data of Great Dodecahedron. dmccooey.com. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-02-14）.

[榎宮祐20-24] 榎宮祐. NO GAME NO LIFE 遊戲人生[12]. 巴哈母特動畫瘋. [2017-09-07] （中文）.

[榎宮祐2014-25] 23.0 ^23.1 榎宮祐. 《NO GAME NO LIFE 遊戲人生６》聽說遊戲玩家夫妻向世界挑戰了. 2014-04-25: 第330-331頁. EAN 4710945544663.

[Alexander's_Star_-_Jaap's_Puzzle_Page-26] 24.0 ^24.1 Alexander's Star - Jaap's Puzzle Page. jaapsch.net. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[27] THE GREAT DODECAHEDRON. transum.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[28] Baez, John "Golay code, （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" Visual Insight, December 1, 2015.

[Dodecadodecahedron-29] 27.0 ^27.1 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover,. 1991: 103.

[30] Weber, Matthias, Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface, Pacific J. Math., 2005, 220: 167–182 [2017-08-07], doi:10.2140/pjm.2005.220.167, （原始內容存檔於2021-03-05）

[31] Weisstein, Eric W. (編). Truncated great dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[32] Grünbaum, Branko（英語：Branko Grünbaum）, Unambiguous polyhedral graphs, Israel Journal of Mathematics, 1963, 1 (4): 235–238, MR 0185506, doi:10.1007/BF02759726

[33] Grünbaum, Branko（英語：Branko Grünbaum）, Convex Polytopes, Wiley Interscience, 1967

[34] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)

[35] Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

[36] und of great dodecahedron and small stellated dodecahedron. bulatov.org. [2017-07-25]. （原始內容存檔於2021-03-05）.

[37] Weisstein, Eric W. (編). Great Dodecahedron-Small Stellated Dodecahedron Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

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對稱群 *n32 [n,3]	球面鑲嵌	平面鑲嵌	雙曲鑲嵌				仿緊湊	非緊湊
對稱群 *n32 [n,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*932 [9,3]	*10 32 [10,3]...	*∞32 [∞,3]	[iπ/λ,3]
考克斯特紀號
星形頂點布局	(⁵⁄₂)⁵	(⁶⁄₂)⁶	(⁷⁄₂)⁷	(⁸⁄₂)⁸	(⁹⁄₂)⁹	(¹⁰⁄₂)¹⁰	(^∞⁄₂)^∞	(^∞⁄₂)^∞
面
星形對偶
考克斯特紀號
星形頂點布局	(5⁵)∕2	(6⁶)∕2	(7⁷)∕2	(8⁸)∕2	(⁹⁄₂)⁹	(¹⁰⁄₂)¹⁰	(偶數)(奇數) (∞^∞)∕2	(∞^∞)∕2

大十二面體

性質

面的組成

二面角

頂點坐標

圖像

使用

在常見文化中

在小說中

在電腦科學中

相關多面體與鑲嵌

對偶多面體

康威變換的結果

相關三角化多面體

星形鑲嵌圖

對偶複合體

參見

參考文獻