下限拓撲

數學上，下限拓撲是定義在實數集 $\mathbb {R}$ 上的拓撲。其不同於 $\mathbb {R}$ 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 Robert Sorgenfrey）或箭頭，有時記為 $\mathbb {R} _{l}$. 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

$\mathbb {R} _{l}$ 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。

類似地，可以定義 $\mathbb {R}$ 上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。

性質

• 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
• 對任意實數 $a$ 和 $b$, 區間 $[a,b)$ 都是 $\mathbb {R} _{l}$ 的閉開集（既是開集，也是閉集）。而且，對任意實數 $a$, 集合 $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ 和 $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ 皆為閉開集。故 $\mathbb {R} _{l}$ 為完全不連通空間。
• $\mathbb {R} _{l}$ 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$. 取定 $x\in C$, 考慮 $C$ 的開覆蓋：

${\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.$

由於 $C$ 為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數 $a(x)$ 使得區間 $(a(x),x]$ 不含 $C$ 除 $x$ 以外的點。這對任意 $x\in C$ 為真。現選取有理數 $q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}$. 對不同的 $x\in C$, 區間 $(a(x),x]$ 兩兩不交，故函數 $q:C\to \mathbb {Q}$ 為單射，故 $C$ 至多可數。

• 「下限拓撲」得名自以下性質：$\mathbb {R} _{l}$ 中的序列（或網）$(x_{\alpha })$ 收斂到 $L$ 當且僅當其「從右接近 $L$」，即對任意的 $\epsilon >0$ ，均存在下標 $\alpha _{0}$ 使得 $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$. $\mathbb {R} _{l}$ 因此可用於研究單側極限：對函數 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f$ 於 $x$ 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 $f$ 於 $x$ 之一般極限。
• 就分離公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是完美正規豪斯多夫空間（T₆ 空間）。
• 就可數性公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是第一可數空間和可分空間，但並非第二可數空間。
• 就緊緻性而言，$\mathbb {R} _{l}$ 是林德勒夫空間和仿緊空間，但並非σ-緊空間，也不是局部緊空間。
• $\mathbb {R} _{l}$ 不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而，$\mathbb {R} _{l}$ 的拓撲是由一個預度量給出。
• $\mathbb {R} _{l}$ 是一個貝爾空間 。

參考資料

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446