斯特林数

在数学中，史特灵数用于解决各种数学分析和组合数学问题，史特灵数是两组不同的数，均是18世纪由詹姆士·史特灵引入并以其命名，以第一类史特灵数和第二类史特灵数的称呼区分。此外，有时候也将拉赫数称为第三类史特灵数。

第一类史特灵数

定义

第一类史特灵数可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数，即 $$(x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,$$ 其中，$s(n,k)\,$（$0\leq k\leq n\,$）即为第一类史特灵数。例如：

$$(x)_{3}=x(x-1)(x-2)\,$$

则

$$(x)_{3}=0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}\,$$

于是$s(3,0)=0\,$， $s(3,1)=2\,$， $s(3,2)=-3\,$， $s(3,3)=1\,$。

由此可知，$s(n,k)\,$是代数数，或称为有符号（第一类）史特灵数（英语：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符号史特灵数的绝对值$|s(n,k)|\,$可以看作（或直接定义为）把$n\,$个元素排列成$k\,$个非空圆圈（循环排列）的方法数目。所以$|s(n,k)|\,$是算术数，或称为无符号（第一类）史特灵数（英语：unsigned Stirling numbers of the first kind）。无符号史特灵数一般可以记为$c(n,k)\,$或$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$。例如：把$1\,$，$2\,$，$3\,$三个数排列成$0\,$个非空圆圈，显然有零种方法；排列成$1\,$个非空圆圈，有$\left({\begin{matrix}&1&\\2&&3\end{matrix}}\right)\,$，$\left({\begin{matrix}&1&\\3&&2\end{matrix}}\right)\,$两种方法；排列成$2\,$个非空圆圈，有$\left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,$$\left({\begin{matrix}2&3\end{matrix}}\right)\,$，$\left({\begin{matrix}1&2\end{matrix}}\right)\,$$\left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,$和$\left({\begin{matrix}1&3\end{matrix}}\right)\,$$\left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,$三种方法；排列成$3\,$个非空圆圈，有$\left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,$$\left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,$$\left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,$一种方法，所以$\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]=0\,$$\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]=2\,$，$\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]=3\,$，$\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]=1\,$。可以看到这和前面有符号史特灵数$s(n,k)\,$在$n=3\,$时的结果一致（只是符号差异）。

与有符号史特灵数类似，无符号史特灵数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数，即

$$(x)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}\,$$

其中，$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$（$0\leq k\leq n\,$）即为无符号史特灵数。不过要注意，这里的记号$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$有时候会用来表示高斯二项式系数。

有符号史特灵数和无符号史特灵数有如下关系：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$$

拓展示例

无符号史特灵数有更多的应用。例如，将$n\,$个元素分成$k\,$组，每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号史特灵数$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$求得。以$\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=11\,$为例：

1. (A,B)(C,D)
2. (A,C)(B,D)
3. (A,D)(B,C)
4. (A)(B,C,D)
5. (A)(B,D,C)
6. (B)(A,C,D)
7. (B)(A,D,C)
8. (C)(A,B,D)
9. (C)(A,D,B)
10. (D)(A,B,C)
11. (D)(A,C,B)

或用有向图表示如下：

s(4,2)=11

递推关系式

无符号史特灵数有如下递推关系式：

$$\left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=n\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right]\,$$

其中，$k>0$，且初始条件为 $\left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,$，$\left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right]=0\,$（$n>0$）。

有符号史特灵数有如下递推关系式：

$$s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)$$

第一类史特灵数表

下表其实是一部分无符号史特灵数，要想获得有符号史特灵数，可以通过它们之间的关系式：

$$s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,$$

求得。

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1

简单性质

观察前面的“第一类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：

$\left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,$，$\left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我们有

$\left[{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right]=0\,$；

或更一般地，如果$k>n\,$，我们有

$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=0\,$。

还有

$\left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]=(n-1)!\,$，

$\left[{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right]=1\,$，

$\left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]={n \choose 2}\,$，

$\left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){n \choose 3}\,$，

$\left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,$。

注：这里记号${n \choose k}\,$表示组合数。

第二类史特灵数

定义

第二类史特灵数与第一类史特灵数类似，可以用递降阶乘定义为

$$x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}\,$$

其中，$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,$即为第二类史特灵数，也可以记为$S(n,k)\,$。例如：

$$x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}(x)_{0}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}(x)_{1}+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}(x)_{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}(x)_{3}\,$$

即

$$x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}x+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}x(x-1)+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)\,$$

将递降阶乘展开并合并同类项，得

$$x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x^{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x^{3}\,$$

比较等式两边系数，得

$${\begin{cases}\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\end{cases}}\,$$

解得

$\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,$。

第二类史特灵数计算的是将含有$n\,$个元素的集合拆分为$k\,$个非空子集的方法数目。例如：对于集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分为$0\,$个非空子集，显然有零种方法；拆分为$1\,$个非空子集，只有$\left\{1,2,3\right\}\,$一种方法；拆分为$2\,$个非空子集，有$\left\{1\right\}\,$$\left\{2,3\right\}\,$，$\left\{1,2\right\}\,$$\left\{3\right\}\,$，$\left\{2\right\}\,$$\left\{1,3\right\}\,$三种方法；拆分为$3\,$个非空子集，有$\left\{1\right\}\,$$\left\{2\right\}\,$$\left\{3\right\}\,$一种方法。于是$\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,$，$\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,$。

第二类史特灵数可以使用以下公式进行计算：

$$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right)(k-i)^{n}\,$$

取$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,$进行验算，有

$$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2!}}\sum _{i=0}^{2}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}2\\i\end{matrix}}\right)(2-i)^{3}\,$$

即

$$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(\left({\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right)\times 2^{3}-\left({\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\times 1^{3}+\left({\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right)\times 0^{3}\right)\,$$

于是

$$\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(1\times 8-2\times 1+1\times 0\right)=3\,$$

拓展示例

将$n\,$个人分成$k\,$组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成$1\,$组，只能所有人在同一组，因此$\left\{{\begin{matrix}4\\1\end{matrix}}\right\}=1\,$；若所有人分成$4\,$组，只能每人独立一组，因此$\left\{{\begin{matrix}4\\4\end{matrix}}\right\}=1\,$；若分成$2\,$组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即：

1. {甲, 乙}{丙, 丁}
2. {甲, 丙}{乙,丁}
3. {甲, 丁}{乙, 丙}
4. {甲}{乙, 丙, 丁}
5. {乙}{甲, 丙, 丁}
6. {丙}{甲, 乙, 丁}
7. {丁}{甲, 乙, 丙}

因此$\left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}=7\,$。同理，可以得到$\left\{{\begin{matrix}4\\3\end{matrix}}\right\}=6\,$。

递推关系式

第二类史特灵数有与第一类史特灵数类似的递推关系式：

$$\left\{{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right\}\,$$

其中，$k>0$，且初始条件为 $\left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,$，$\left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right\}=0\,$（$n>0$）。

第二类史特灵数表

下面为部分第二类史特灵数：

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1

简单性质

观察前面的“第二类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：

$\left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,$，$\left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=0\,$（$n>0\,$）。

如果$k>0\,$，我们有

$\left\{{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right\}=0\,$；

或更一般地，如果$k>n\,$，我们有

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=0\,$。

还有

$\left\{{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right\}=1\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}=2^{n-1}-1\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}={n \choose 2}\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,$，

$\left\{{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,$。

其他性质

贝尔数和第二类史特灵数有如下关系：

$$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,$$

两类之间的关系

第一类和第二类史特灵数可以看作互为逆矩阵的关系：

$$\sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

以及

$$\sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta _{nk}\,$是克罗内克尔δ。

拉赫数

定义

拉赫数是由伊沃·拉赫在1954年发现的，因为拉赫数与史特灵数关系密切，所以有时拉赫数也被称为第三类史特灵数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为

$$x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,$$

或

$$(x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}\,$$

其中， $L(n,k)\,$即为拉赫数。例如：

$$x^{(3)}=\sum _{k=0}^{3}L(3,k)(x)_{k}\,$$

即

$x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x-1)+L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,$

等式两边展开并合并同类项，得

$$0\cdot x^{0}+2\cdot x+3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,$$

比较等式两边系数，得

$${\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{L(3,2)-3L(3,3)=3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,$$

解得 $L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$， $L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

或

$$(x)_{3}=\sum _{k=0}^{3}(-1)^{3-k}L(3,k)x^{(3)}\,$$

即

$x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x+1)+L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,$

等式两边展开并合并同类项，得

$$0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,$$

比较等式两边系数，得

$${\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{-L(3,2)+3L(3,3)=-3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,$$

解得 $L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$， $L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

以上定义的拉赫数是无符号拉赫数（英语： signed Lah numbers），有符号拉赫数（英语：signed Lah numbers）的定义如下：

$$x^{(n)}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,$$

或

$$(x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}L(n,k)x^{(k)}\,$$

无符号拉赫数计算的是将含有$n\,$个元素的集合拆分为$k\,$个非空线性有序子集的方法数目。例如：对于集合$\left\{1,2,3\right\}\,$，若拆分为$0\,$个非空线性有序子集，显然有零种方法；拆分为$1\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1,2,3)\right\}\,$，$\left\{(1,3,2)\right\}\,$，$\left\{(2,1,3)\right\}\,$，$\left\{(2,3,1)\right\}\,$，$\left\{(3,1,2)\right\}\,$，$\left\{(3,2,1)\right\}\,$六种方法；拆分为$2\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$$\left\{(2,3)\right\}\,$，$\left\{(1)\right\}\,$$\left\{(3,2)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$$\left\{(1,3)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$$\left\{(3,1)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$$\left\{(1,2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$$\left\{(2,1)\right\}\,$六种方法；拆分为$3\,$个非空线性有序子集，有$\left\{(1)\right\}\,$，$\left\{(2)\right\}\,$，$\left\{(3)\right\}\,$一种方法。于是$L(3,0)=0\,$，$L(3,1)=6\,$， $L(3,2)=6\,$，$L(3,3)=1\,$。

无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$$L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,$$

有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：

$$L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,$$

拓展示例

无符号拉赫数（n和k取1到4）

递推关系式

无符号拉赫数有如下递推关系：

$L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k)$

或

$L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\,$

其中，$L(n,0)=0\,$，$L(n,0)=0\,$，$L(n,k)=0\,$（$k>n\,$），$L(1,1)=1\,$

拉赫数表

下面为部分无符号拉赫数：

k n	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	2	1
3	0	6	6	1
4	0	24	36	12	1
5	0	120	240	120	20	1
6	0	720	1800	1200	300	30	1

简单性质

观察前面的“拉赫数表”，我们可以得到一些简单性质：

$L(0,0)=1$， $L(n,0)=0$（$n>0$）

如果$k>n$，有 $L(0,0)=1$，$L(n,k)=0$

还有

$L(n,1)=n!$

$L(n,2)={\frac {(n-1)n!}{2}}$

$L(n,3)={\frac {(n-2)(n-1)n!}{12}}$

$L(n,n-1)=n(n-1)$

$L(n,n)=1$

$\sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}$

其他性质

无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展：

$L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!$

$L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}$

无符号拉赫数与两类史特灵数都有关系，关系如下：

$$L(n,k)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,$$

取$L(3,2)\,$进行验算，有

$$L(3,2)=\sum _{j=0}^{3}\left[{\begin{matrix}3\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\2\end{matrix}}\right\}\,$$

即

$$L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,$$

于是

$$L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\times 1+1\times 3=6\,$$

由无符号拉赫数与两类史特灵数之间的关系，考虑到两类史特灵数之间的关系，有

$$\sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,$$

其中，$\delta _{nk}\,$是克罗内克尔δ。

三类之间的关系

三类史特灵数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示：