内射模

内射模（英语：injective module），在模论中，是具有与有理数 $\mathbb {Q}$ （视为 $\mathbb {Z}$ -模）相似性质的模。内射模是投射模的对偶概念，由Reinhold Baer于1940年引进。

定义

一个环 $R$ 上的左模 $Q$ 若满足以下等价条件，则称之为内射模：

若 $Q$ 是另一个左 $R$ -模 $M$ 的子模，则存在另一个子模 $R\subset M$ 使得 $M=R\oplus Q$ 。
若 $f:X\to Y$ 是左 $R$ -模的单射， $g:X\to Q$ 为同态，则存在同态 $h:Y\to Q$ 使得 $h\circ f=g$ 。图示如下：

任何短正合序列 $0\to Q\to M\to K\to 0$ 都分裂。
函子 $\mathrm {Hom} _{R}(-,Q)$ 为正合函子。

右模的定义类此。抽象地说，内射模乃是模范畴中的内射对象。

例子

零模是内射模的平凡例子。
设 $R$ 为域，则任何 $R$ -模（即 $R$ -向量空间）都是内射模，此点可由基的性质证明。
设 $G$ 为紧群（例如有限群）， $k$ 为特征为零的域。根据紧群的表示理论，可知任何表示的子表示都是其直和项；若翻译为模的语言，即是：群代数 $kG$ 上的所有模都是内射模。
设 $A$ 为域 $k$ 上含单位元的有限维结合代数。则逆变函子 $\mathrm {Hom} _{k}(-,k)$ 给出有限生成左 $A$ -模与有限生成右 $k$ -模的对偶性。因此，有限生成的左 $A$ -模在同构的意义下皆可写作 $\mathrm {Hom} _{k}(P,k)$ ，其中 $P$ 是某个有限生成的投射右 $A$ -模。
在一般的环上也存在充足的（在内射分解的意义下）投射模，以下将述及相关理论。初步的例子包括： $\mathbb {Q}$ 对加法形成内射 $\mathbb {Z}$ -模。群 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ （ $n>1$ ）是内射 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ -模，而非内射 $\mathbb {Z}$ -模。
若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英语：left self-injective ring）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

性质

内射模的直积（包括无穷直积）仍是内射模，内射模的有限直和仍为内射模。一般而言，内射模的子模、商模或无穷直和并不一定是内射模。

Baer 在其论文中证明了一个有用的结果，通常称作 Baer 判准：一个左 $R$ -模 $Q$ 是内射模若且唯若定义在任一理想 $I$ 上的态射 $I\to Q$ 都能延拓到整个 $R$ 上。

利用此判准，可证明主理想域 $R$ 上的模 $Q$ 是内射模若且唯若 $Q$ 可除，即：对任何 $r\neq 0\in R.\;q\in Q$ ，存在 $q'\in Q$ 使得 $rq'=q$ ，由此可证 $\mathbb {Q}$ 是内射 $\mathbb {Z}$ -模，向量空间都是内射模。

最重要的内射模当属 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ：它是 $\mathbb {Z}$ -模范畴中的内射上生成元，换言之，这是内射模，而且任何 $\mathbb {Z}$ -模皆可嵌入某个 $(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}$ 中，其中 $a$ 是够大的基数。由此可知任何 $\mathbb {Z}$ -模皆可嵌入某个内射 $\mathbb {Z}$ -模。此性质对任意环 $R$ 上的左模都成立，要点在于利用 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 的特性构造左 $R$ -模范畴中的内射上生成元。

我们也可以定义模的内射包（基本上是包含一个模的最小内射模）。任意模 $M$ 都有内射分解，这是形式如下的正合序列：

0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots

其中每个 $I^{j}$ 都是内射的。内射分解可以用以定义模的内射维度（基本上是内射分解的最短长度，可能是无限的）及导函子。

不可分解内射模的自同态环是局部环。

文献

F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见