1 + 2 + 3 + 4 + …

横轴为1, 2, 3, 4, ⋯，纵轴为相应于横轴的级数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。图中曲线为平滑后之渐近线，其与纵轴相交的截距值为−¹⁄₁₂

无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + …为所有自然数的和，是一个发散级数，其数学式也写作 $\sum _{n=1}^{\infty }n$

此级数前 n 项的部分和即是三角形数：

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透过黎曼ζ函数正规化与拉马努金求和等方法可产生一有限值 $-{\frac {1}{12}}$，表示为：

$1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$

此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。

部分和公式的证明

主条目：三角形数

前六个三角形数

海什木（Alhazen）的正整数和公式推导

自然数从 1 加到 n 的和是 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ 能用许多方法证明。首先令

$S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,$

我们将这些项重排反着写：

$S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,$

将两者相加，对应项相加，我们得到

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},$

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},$

$2S_{n}=n\cdot (n+1),$

$S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.$

ζ函数的求和与解析连续性

当 s 的实部大于 1，s 次方的黎曼ζ函数等于求和 $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}$。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 $-{\frac {1}{12}}$。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外给其定义，其拉马努金求和的结果为 $-{\frac {1}{12}}$。

物理

在玻色弦理论中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组 $D$ 无关量子谐振子，这里 $D$ 是时空的维数。如果基本振子频率是 $\omega$ 则一个振子对 $n$ 级谐波的贡献是 ${\frac {n\hbar \omega }{2}}$。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 $-{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}$。最后这确实是正确的，与Goddard–Thorn theorem一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

历史

在拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：

“亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布罗米奇的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 $1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。”

引用

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9. 
• Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967. 

延伸阅读

• Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, 248: 327–340 [2008-12-13]. （原始内容存档于2018-12-01）. 
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6.  See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1.  See p. 293.

外部链接

• 数学物理每周发现（124周）（页面存档备份，存于互联网档案馆），（126周）（页面存档备份，存于互联网档案馆），（147周）（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂ 的证明
• 所有自然数的和等于负十二分之一视频（页面存档备份，存于互联网档案馆）