跳转到内容

相伴数列定理

维基百科,自由的百科全书

数学中,相伴数列定理涉及实数列,它指出相伴数列收敛于同一极限

定义

[编辑]

如果两个实数列 () 和 () 一个单调递增无上界,一个单调递减无下界,且二者的差值趋近于0,那么称这两个实数列是相伴数列

先假设数列 () 是单调递增的,数列 () 是单调递减的。

注意到
[1];特别的,

叙述

[编辑]

相伴数列定理 — 假设 是一对相伴数列,那么它们收敛于同一极限 ∈ ℝ。

此外,令 单调递增, 单调递减,那么 ,

这个定理可以以如下方式证明:[1]在实数域中,单增有上界的数列必然收敛,这是由最小上界性(非空有上界的实数集必有上确界)给出的。因此,如果在有理数集中寻找有理极限,这个定理不成立。

甚至可以证明,这一性质与上确界性等价(见条目实数的构造法语Construction des nombres réels#Équivalence des deux constructions)。与单增有上界的数列的性质相比,其优势不仅仅在于证明了数列的收敛性,更在于提供了一个想要的框架。

证明

[编辑]

单调递增,单调递减,则可以得到单调递增

二者的差值趋近于0,于是有, 所以

又因为单调递增,单调递减,

单调收敛定理,可以知道极限必然存在

极限的四则运算

应用

[编辑]

在所有使用二分法的问题中,在实数的十进制展开中,在连分数的书写中以及求积问题(圆的求积、抛物线的求积)问题中,都可以找到相伴数列定理的存在。

两个数列 () 和 () 是相伴数列,当且仅当由 定义的数列 () 符号恒定、绝对值严格单调递减且趋近于零;换言之,当通项为 的数列满足交错级数的收敛原则时,两个数列 () 和 () 是相伴数列。因此,莱布尼茨关于这种特殊的交错级数的审敛法等价于相伴数列定理。

注释

[编辑]
  1. ^ 1.0 1.1 参见法语维基学院关于相伴数列页面存档备份,存于互联网档案馆)的描述

参见

[编辑]