线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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方块矩阵,也称方阵、方矩阵或正方矩阵[1],是行数及列数皆相同的矩阵。由
矩阵组成的集合,连同矩阵加法和矩阵乘法,构成环。除了
,此环并不是交换环。
M(n, R),即实方块矩阵环,是个实有单位的结合代数。M(n, C),即复方块矩阵环,则是复结合代数。
单位矩阵
的对角线全是1而其他位置全是0,对所有
矩阵
及
矩阵
都有
及
。
例如,若
:
![{\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9fa091304cdb4b481f31ea3901e771ca39491b)
单位矩阵是方块矩阵环的单位元。
方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。
矩阵
是可逆当且仅当存在矩阵
使得
。
此时
称为
的逆矩阵,并记作
。
所有
矩阵在乘法上组成一个群(亦是一个李群),称为一般线性群。
若数字
和非零向量
满足
,则
为
的一个特征向量,
是其对应的特征值。数字
为
的特征值当且仅当
可逆,又当且仅当
。这里,
是
的特征多项式。特征多项式是一个
次多项式,有
个复根(考虑重根),即
有
个特征值。
方块矩阵
的行列式是其
个特征值的积,但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。
高斯-若尔当消元法非常重要,可以用来计算矩阵的行列式,秩,逆矩阵,并解决线性方程组。
矩阵的迹是
矩阵的对角线元素之和,也是其
个特征值之和。
所有正交矩阵都是方块矩阵。
线性代数中,下列关于方块矩阵A的命题是等价的(同时成立,或同时不成立):
- A 可逆 ; A的反矩阵存在。
- det(A) ≠ 0 。
- rank(A) = n 。
- Null(A) = 0 。
- A的特征值中没有0。
- 对任意b属于Fn,Ax = b有唯一解。
- Ax = 0只有平凡解。
- ATA可逆。
- A与单位矩阵行(列)等价。
- A的行向量或列向量张成Fn 。
- A的零空间只有零向量。
- A的值域为Fn 。
- A的行(列)向量构成Fn (Fn)中向量的线性无关集。
这里,F为矩阵元素所属的域。通常,这个域为实数域或复数域。