最大流最小割定理

最大流最小割定理是最优化理论的定理。根据该定理，在一个网络流中，从源点到汇点的最大的流量，等于它的最小割中每一条边的容量之和。“割”指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。

最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。

定义

最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。

图

设 $G=(V,E)$ 为一个有向图，其中有一个起源点 $s$ 和一个超汇点 $t$，代表 $s$ 是所有流的源头，$t$ 是所有流的终点。这个图的每一条边都有一个容量 c : E → R⁺，记做 $c_{uv}$ 或者 $c(u,v)$，代表着能通过边 $(u,v)$ 的最大流量。

最大流

定义： 流量代表一种映射 $f:E\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$，记做$f_{uv}$ 或者 $f(u,v)$，代表通过边 $(u,v)$ 的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：

1. 流量限制：$f_{uv}\leq c_{uv}\quad \forall \,(u,v)\in E.$ 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。
2. 流量守恒：$\sum \nolimits _{\{u:(u,v)\in E\}}f_{uv}=\sum \nolimits _{\{w:(v,w)\in E\}}f_{vw}\quad \forall \,v\in V\setminus \{s,t\}.$ 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。

规定在一个图中，流的值是

$|f|=\sum \nolimits _{v:(s,v)\in E}f_{sv}=\sum \nolimits _{v:(v,t)\in E}f_{vt}.$

也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。

最大流问题：计算$|f|$的最大值，即从$s$到$t$的最大流量。

最小割

定义： s-t割 $C=(S,T)$ 将图 $G$ 完全划分为两部分，使得 $s\in S,t\in T,$ 也就是一侧有源，一侧有汇。$C$ 的割集 $X_{C}$ 是 $\{(u,v)\in E\ :\ u\in S,v\in T\}.$ 也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在 $X_{C}$ 里。因此如果 $C$ 的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，则 $|f|=0$。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中，s-t割的容量是

$c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in X_{C}}c_{uv}=\sum \nolimits _{(i,j)\in E}c_{ij}d_{ij},$ 其中当 $i\in S,j\in T$ 时，$d_{ij}$ 为 $1$, 否则为 $0$。

通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。

最小 s-t 割问题： 计算 $c(S,T)$ 的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

主定理

可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

线性规划公式

最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划对偶问题。

	Max-flow (Primal)	Min-cut (Dual)
variables	$f_{uv}$ $\forall (u,v)\in E$ [a variable per edge]	$d_{uv}$ $\forall (u,v)\in E$ [a variable per edge] $z_{v}$ $\forall v\in V\setminus \{s,t\}$ [a variable per non-terminal node]
objective	maximize $\sum \nolimits _{v:(s,v)\in E}f_{sv}$ [max total flow from source]	minimize $\sum \nolimits _{(u,v)\in E}c_{uv}d_{uv}$ [min total capacity of edges in cut]
constraints	subject to ${\begin{aligned}f_{uv}&\leq c_{uv}&&\forall (u,v)\in E\\\sum _{u}f_{uv}-\sum _{w}f_{vw}&=0&&v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}$ [a constraint per edge and a constraint per non-terminal node]	subject to ${\begin{aligned}d_{uv}-z_{u}+z_{v}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E,u\neq s,v\neq t\\d_{sv}+z_{v}&\geq 1&&\forall (s,v)\in E,v\neq t\\d_{ut}-z_{u}&\geq 0&&\forall (u,t)\in E,u\neq s\\d_{st}&\geq 1&&{\text{if }}(s,t)\in E\end{aligned}}$ [a constraint per edge]
sign constraints	${\begin{aligned}f_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}d_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\z_{v}&\in \mathbb {R} &&\forall v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}$

最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下：

$d_{uv}={\begin{cases}1,&u\in S,v\in T\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}$

$z_{u}={\begin{cases}1,&u\in S\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}$

最小化目标是使在割中的边最小。

下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。

• 限制 $d_{uv}-z_{u}+z_{v}\geq 0$(即 $d_{uv}\geq z_{u}-z_{v}$) 确保了对两个非源点或汇点 u,v, 如果u 在 S中 且 v 在 T中, 那么边 (u,v)一定会被记在割中 ($d_{uv}\geq 1$)。
• 限制 $d_{sv}+z_{v}\geq 1$(即 $d_{sv}\geq 1-z_{v}$) 确保了如果 v 在 T 中, 那么边 (s,v) 一定会被记在割中。
• 限制 $d_{ut}-z_{u}\geq 0$(即 $d_{ut}\geq z_{u}$) 确保了 u 在 S 中, 那么边 (u,t) 一定会被记在割中。

需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。

注意到在给定的 s-t 割 $C=(S,T)$ 中，如果 $i\in S$ 那么 $z_{i}=1$ 并且 0 反之。 所以 $z_{s}$ 应该等于 1 并且 $z_{t}$ 应该等于0。由线性规划中的强对偶定理推得最大流最小割问题中的等式，也就是说如果原问题有一个最优解 x*，则对应问题也有一个最优解 y* ，并且两个解相等。

举例

一个流量等于s-t 割的容量的流网络

上图是一个网络，上有流量为 7 的流。令 S 集合和 T 集合分别包含所有白色和灰色的点， 从而形成了一个割集包含图中虚线的 s-t 割，并且其容量为 7，与流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流与 s-t 割皆达到流量及容量的极值。

应用

广义最大流最小割定理

额外规定映射 $c\colon V\rightarrow R^{+}$为点的容量，记做 c(v)，使得一个流 f 不只要满足边的流量限制与流量守恒，还要满足点的流量限制，即

$\forall v\in V\setminus \{s,t\}:\qquad \sum \nolimits _{\{u\in V\mid (u,v)\in E\}}f_{uv}\leq c(v).$

换句话说，流过 v 点的总流量不能超过 v 的容量 c(v)。一个 s-t 割 的定义为一个包含一些点和边的集合，满足与任一条由 s 到 t 的路径皆不互斥。并且 s-t 割的容量 定义成所有点和边的容量总和。

在此定义之下，广义最大流最小割定理的叙仍为流量的最大值等于所有 s-t 割的容量最小值。

门格尔定理

参见：门格尔定理

不共边路径问题为给定无向图 $G=(V,E)$ 及两顶点 s、t，求从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值。

门格尔定理的叙述为从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值等于在所有 G 的 s-t 割(以原本的定义)中，顶点分别在不同集合的边数的最小值。

计划选择问题

参见：最大流问题

计划选择问题的网络型态

计划选择问题叙述如下：当下有 n 个计划 $p_{1},\dots ,p_{n}$可以被实施、m 种设备 $q_{1},\dots ,q_{m}$ 可以被购买，要执行计划必须拥有该计划要求的设备，执行计划 $p_{i}$可获得 $r(p_{i})$ 的收益，但购买设备 $q_{j}$ 要支付 $c(q_{j})$ 的费用。如何选择执行计划并购买所需设备以获得净利的最大值？

设 P 为不被执行的计划的集合，Q 为所购买的设备，则问题变成求最大值

$\max _{P,Q}\sum _{i=1}^{n}r(p_{i})-\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})-\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})$

注意到 ${\textstyle \sum _{i}r(p_{i})}$与 P、Q 的选择无关，故只需求后两项和的最小值，即

$\min _{P,Q}\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})$

现在考虑一个网络，起源点 s 连接到 n 个点 $p_{1},\dots ,p_{n}$，边的容量分别为 $r(p_{i})$，超汇点 t 连接到 m 个点 $q_{1},\dots ,q_{m}$，边的容量分别为 $c(q_{j})$，若执行任务 $p_{i}$需购买设备 $q_{j}$ ，则在 $p_{i}$、$q_{j}$ 之间连上一条容量为无限大的边，若不需购买设备，则不连上边。则 ${\textstyle \sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})}$ 对应到一个 s-t 割的容量，其中的两个集合是要执行的计划与要购买的设备和它的余集，也就是

$\{s\}\cup (P'\setminus P)\cup Q{\text{、 }}\{t\}\cup P\cup (Q'\setminus Q)$

在此，$P'=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$，$Q'=\{q_{1},\dots ,q_{m}\}$。于是，原问题转成求该图的最大流问题，并且可以借由各种算法求得其极值。

以下给出一个计划选择问题的例子，右图是该问题对应到的网络。

	计划收入 r(pi)	设备价格 c(qj)	备注
1	100	200	执行计划 p1 须购买设备 q1、q2。
2	200	100	执行计划 p2 须购买设备 q2。
3	150	50	执行计划 p3 须购买设备 q3。

该网络的最小 s-t 割是选择计划 p₂、p₃ 与设备 q₂、q₃，容量为 250。三个计划的总收益是 450，因此最大净利为 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解为将计划所给予的收益流过所需设备，如果无法流满设备至 t 的边，代表执行计划不合成本，最小割将选择穿过 s 到计划的边而非穿过设备到 t 的边。

影像分割问题

Each black node denotes a pixel.

设原图有 n 像素，想要把该图分割为前景和背景，并且将 i 像素归类为前景有效益  f_i，归类为背景有效益  b_i，但是若 i、j 像素相邻且被归类为不同块，则会减少 p_ij 的效益。求将该图分割为前后景的最有效益方法。

令 P 为前景的集合，Q 为背景的集合，于是问题转化成求最大值

$\max _{P,Q}\sum _{i\in P}f_{i}+\sum _{i\in Q}b_{i}-\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}$

因为  f_i、 b_i 的总合是与 P、Q的选取无关，因此等价于求以下最小值

$\min _{P,Q}\sum _{i\in Q}f_{i}+\sum _{i\in P}b_{i}+\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}$

以上的最小值问题可以被描述为一个网络的最小割问题，其中该网络如右图，以橘点为起源点；紫点为超汇点。各个像素被描述为网络的顶点，起源点至第 i 个像素连上一条容量为  f_i 的有向边；第 i 个像素至超汇点连上一条容量为 b_i 的有向边。相邻的像素 i、j 之间连上来回两条容量为 p_ij 的有向边。则一个 s-t 割代表一种将部分像素归类为前景 P、其余归类为背景 Q 的安排。

历史

最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。

证明

同之前的设定，G = (V, E) 是一个网络(有向图) ，s 点和 t 点分别为 G 的起源点和超汇点。

将所有流考虑成一个欧式空间的有界闭子集，满足流量限制与流量守恒，而流量是一个连续函数，因此有极大值 |f| 。

设 f 达到最大流，令 (G_f ) 是 f 的残留网络，定义

1. A：在 (G_f ) 中可以从 s 出发到达的点
2. A^c：A 以外的点，即 V − A

换句话说，v∈A 当且仅当 s 可以流出更多流量到 v。

我们宣称 $|f|=c(A,A^{c})$，其中该 s-t 割的容量定义为

$c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in (S\times T)\cap E}c_{uv}$.

由于 $|f|$ 的大小等于所有流出集合 A 的流量总和减所有流入集合 A 的流量总和，故 $|f|\leq c(A,A^{c})$，并且等号成立当且仅当

• 所有从 A 流向 A^c 的边流量均已达饱和。
• 所有从 A^c 流向 A 的边流量均为 0。

我们用反证法分别证明以上两点：

• 假设存在从 A 流向 A^c 的边 $(x,y)\in A\times A^{c}$ 并未达到饱和，即 $f(x,y)<c_{xy}$。因此，可以从 x 流更多的流量到 y，(x,y) 是 G_f 的一条边。由 x∈A 知 G_f 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 A 流向 A^c 的边流量均已达饱和。
• 假设存在从 A^c 流向 A 的边 $(y,x)\in A^{c}\times A$ 其流量不为 0，即 $f(x,y)>0$。因此，可以从 y 流更少的流量到 x，(x,y) 是 G_f 的一条边。由 x∈A 知 G_f 图中有一条中的路径从 s 到 x，其中只经过 A 中的点， 所以 y∈A，产生矛盾。是故所有从 A^c 流向 A 的边流量均为 0。

于是，声称得证。

由于流量恒不超过容量，|f| 是容量的下界，所以 $c(A,A^{c})$ 是容量的最小值，由声称知，最大流最小割定理得证。

参见

• 线性规划
• 最大流
• 最小割
• 网络流
• Edmonds–Karp 算法
• Ford–Fulkerson 算法
• 近似最大流最小割定理

参考文献

• Eugene Lawler. 4.5. Combinatorial Implications of Max-Flow Min-Cut Theorem, 4.6. Linear Programming Interpretation of Max-Flow Min-Cut Theorem. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Dover. 2001: 117–120. ISBN 0-486-41453-1. 
• Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz. 6.1 The Max-Flow, Min-Cut Theorem. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Dover. 1998: 120–128. ISBN 0-486-40258-4. 
• Vijay V. Vazirani. 12. Introduction to LP-Duality. Approximation Algorithms. Springer. 2004: 93–100. ISBN 3-540-65367-8.