边 (图论)

在图论中，边（edges）是图的基本单元之一，其与点共同组成了图。一般的情况下，边通常是连接两个点的图论元素，而在部分的情况下会只连接1个点（如非简单图）或连接3个或更多个点（如超图），因此边通常可以被定义为将点相连的元素，而被边连接的点称为端点。

分类

边依照连接的点数量可以分为三类，其中一种称为简单边，即这些边连接2个相异的点。简单图的每一个边皆为简单边。另一种为超边（hyperedges），即这些边连接3个或更多个点，通常出现于超图中，其也可以依照其连接的边数称为多元边，例如连接三个点的边可称为三元边。另一类为只连接1个点的边，或连接的两点是相同点的边，这种边通常称为自环。

而根据图的有向性，边又可以分成两种，有向边和无向边。

简单边

在图论中，简单边是指连接2个相异点的边。简单图的每一个边皆为简单边。更正式地，简单边可以定义为，有一个图 $G$ 是一个二元组 $G=(V,E)$ ，其中 $V$ 是点集、 $E$ 是边集，并且满足 $E\subseteq \left\{\left\{x,y\right\}:(x,y)\in V^{2},x\neq y\right\}$ ，由所有无序点对构成（换句话说，边连接了两相异点），而这个连接了此两个相异点的边则称为简单边。^[1]^[2]

超边

在图论中，超边又称超链接（hyperlinks）、接口或连接（connectors）^[3] 是指连接任意数量点的边，其连接的点数量不一定为2个，可能是3个或更多。更正式地，超边可以定义为，有一个超图 $H$ 是一个二元组 $H=(X,E)$ ，其中 $X$ 是点集、 $E$ 是边集，且边集是 ${\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}$ 的子集、 ${\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的幂集，而 ${\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}$ 中的边称为超边。

在不同领域中，超边有许多不同的名称，例如，在计算几何学中，超边又可以被称为范围（ranges）^[4]、在合作博弈论中，超边又可称为简单博弈（simple games）^[5]。

自环

在图论中，自环（Loop）是一条顶点与自身连接的边^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]。而花束图（英语：Bouquet_graph）中所有的边皆为自环。^[12]

无向边

若一个边不具有方向性，则称该边为无向边，其可以视为2个点的集合，或只有2个点的超边。无向边也可以在有向图中存在，即双向连结都存在的边，例如有两点A和B，若同时存在A到B的边和B到A的边，则这条边在这个有向图中可以称为一个无向边。

有向边

在图论中，有向边又称弧或箭。若一个边具有方向性，则称该边为有向边。有向边通常会包含一个起点与终点。

有向边也可以推广到超图中，其中一种对于有向超边的定义为，有向超边可以被定义为一个有序对(T,H)，其中T代表终点集、H代表起点集，H与T是两不相交的集合。^[13]

与几何学的关联

在图论中的边与几何学的边不同，图论中的边是指连接点的抽象对象，不同于多边形、多面体等几何图形的边，几何图形的边通常具有具体的线段或曲线，而图论中的边仅表达了哪些顶点要相连，哪些不用。^[14]

参见

边 (几何)

参考文献

^ Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill. Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability. 2010 [2019-09-14]. （原始内容存档于2020-10-19）.
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外部链接

埃里克·韦斯坦因. 邊. MathWorld.

[1] Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill. Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability. 2010 [2019-09-14]. （原始内容存档于2020-10-19）.

[2] See, for instance, Iyanaga and Kawada, 69 J, p. 234 or Biggs, p. 4.

[3] Judea Pearl, in HEURISTICS Intelligent Search Strategies for Computer Problem Solving, Addison Wesley (1984), p. 25

[4] Haussler, David; Welzl, Emo, ε-nets and simplex range queries, Discrete and Computational Geometry, 1987, 2 (2): 127–151, MR 0884223, doi:10.1007/BF02187876

[peleg02hbscw-5] Peleg, B. Chapter 8 Game-theoretic analysis of voting in committees. Handbook of Social Choice and Welfare Volume 1. Handbook of Social Choice and Welfare 1. 2002: 195–201. ISBN 9780444829146. doi:10.1016/S1574-0110(02)80012-1.

[6] Balakrishnan, V. K.; Graph Theory, McGraw-Hill; 1 edition (February 1, 1997). ISBN 0-07-005489-4

[7] Bollobás, Béla; Modern Graph Theory, Springer; 1st edition (August 12, 2002). ISBN 0-387-98488-7

[8] Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5

[9] Gross, Jonathon L, and Yellen, Jay; Graph Theory and Its Applications, CRC Press (December 30, 1998). ISBN 0-8493-3982-0

[10] Gross, Jonathon L, and Yellen, Jay; (eds); Handbook of Graph Theory. CRC (December 29, 2003). ISBN 1-58488-090-2

[11] Zwillinger, Daniel; CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Chapman & Hall/CRC; 31st edition (November 27, 2002). ISBN 1-58488-291-3

[bw-12] Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J., Topics in topological graph theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 128, Cambridge University Press, Cambridge: 5, 2009, ISBN 978-0-521-80230-7, MR 2581536, doi:10.1017/CBO9781139087223

[gallo-13] G. Gallo, G. Longo, S. Nguyen, S. Pallottino, Directed hypergraphs and applications, DOI link, Citeseer link.

[14] Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer: 81, 2013 [2019-09-14], ISBN 9780387927145, （原始内容存档于2014-01-07） .

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