算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。

一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

经典力学

在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)$或哈密顿量${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$决定；其中，$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})$、${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})$分别是广义坐标、广义速度，$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}$是共轭动量，$t$是时间。

假设拉格朗日量${\mathcal {L}}$或哈密顿量${\mathcal {H}}$与某广义坐标$q_{i}$无关，则当$q_{i}$有所改变时，${\mathcal {L}}$或${\mathcal {H}}$仍旧会保持不变，这意味着粒子的动力行为也会保持不变，对应于$q_{i}$的共轭动量$p_{i}$守恒。对于广义坐标$q_{i}$的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。

特别而言，假设对于某种群$G$的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设$S\in G$，

$S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$。

在这案例里，所有$G$的元素$S$都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管$S$作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”$T_{a}$能够将粒子从坐标为$q_{i}$移动至坐标为$q_{i}+a$，以方程表示：

$T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)$；

其中，$f(q_{i})$是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管$T_{a}$的作用，这物理系统的哈密顿量${\mathcal {H}}$是个不变量，对应于坐标$q_{i}$的动量$p_{i}$守恒。

经典力学算符表格

算符	标记	位置	动量
平移算符	$T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
时间演化算符	$U(\Delta t)$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)$
旋转算符	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
伽利略变换算符	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
宇称算符	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
时间反演算符	$\Theta$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

• $R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$是旋转矩阵，${\hat {\mathbf {n} }}$是旋转轴矢量，$\theta$是旋转角弧。

生成元概念

对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为

$T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A$；

其中，$I$是“单位算符”──变换群的单位元，$\epsilon$是微小参数，$A$是专门用来设定平移变换群的生成元。

为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符$T_{\epsilon }$作用于函数$f(x)$：

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )$。

由于$\epsilon$很微小，可以泰勒近似$f(x-\epsilon )$为

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)$。

重写平移算符的方程为

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)$；

其中，导数算符$\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$是平移群的生成元。

总结，平移群的生成元是导数算符。

指数映射

在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做$N$次微小平移变换$T_{a/N}$，来代替一个有限值为$a$的平移变换$T_{a}$ ：

$T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)$。

现在，让$N$变得无穷大，则因子$a/N$趋于无穷小：

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)$。

这表达式的极限为指数函数：

$T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)$。

核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：

$T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)$。

这方程的右手边可以重写为

$f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots$。

这正是$f(x-a)$的泰勒级数，也是$T_{a}f(x)$的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力学

在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态矢量设定，态矢量是矢量空间的单位范数矢量。在矢量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态矢量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈概率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。

量子算符

假设，物理量$O$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符${\hat {O}}$可能有很多不同的本征值$O_{i}$与对应的本征态$|e_{i}\rangle$，这些本征态$|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$，形成了具有正交归一性的基底：

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$；

其中，$\delta _{ij}$是克罗内克函数。

假设，某量子系统的量子态为

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$是复系数，是在$|e_{i}\rangle$里找到$|\psi \rangle$的概率幅。

测量这动作将量子态$|\psi \rangle$改变为本征态$|e_{i}\rangle$的概率为$p_{i}=|c_{i}|^{2}$，测量结果是本征值$O_{i}$的概率也为$p_{i}$。

期望值

主条目：期望值

在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态$|\psi \rangle$，可观察量$O$的期望值$\langle O\rangle$定义为

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$；

其中，${\hat {O}}$是对应于可观察量$O$的算符。

将算符${\hat {O}}$作用于量子态$|\psi \rangle$，会形成新量子态$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$。

从左边乘以量子态$\langle \psi |$，经过一番运算，可以得到

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量$O$的期望值：

$\langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数$F(O)$的期望值：

$\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle$。

例如，$F({\hat {O}})$可以是${\hat {O}}^{2}$，即重复施加算符${\hat {O}}$两次：

$\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle$。

对易算符

主条目：对易算符

假设两种可观察量$A$、$B$的算符分别为${\hat {A}}$、${\hat {B}}$，它们的对易算符定义为

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$。

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态$|\psi \rangle$时，会给出

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle$。

假设$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$，则称这两种可观察量为“相容可观察量”，否则，$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$，称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量$O$的期望值是实值：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$。

对于任意量子态$|\psi \rangle$，这关系都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$。

根据伴随算符的定义，假设${\hat {O}}^{\dagger }$是${\hat {O}}$的伴随算符，则$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。

矩阵力学

应用基底的完备性，添加单位算符${\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$于算符${\hat {O}}$的两旁，可以得到

${\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|$；

其中，$O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle$是求和式内每一个项目的系数。

所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：

${\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}$ 。

算符${\hat {O}}$与它的伴随算符${\hat {O}}^{\dagger }$彼此之间的关系为

$\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}$。

所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。

用矩阵代数来计算算符${\hat {O}}$怎样作用于量子态$|\psi \rangle$，假设系统因此变换为量子态$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle$。

从左边乘以本征态$\langle e_{i}|$，应用基底的完备性，添加单位算符${\hat {I}}$于算符的右边，可以得到

$\langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle$。

右矢$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$分别用竖矩阵来代表

$|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 、　　　　$|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

两个竖矩阵彼此之间的关系为

${\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

假设算符${\hat {O}}$是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值$\lambda$：

$\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0$。

量子算符表格

在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位矢量。

算符名称	直角坐标系分量表示	矢量表示
位置算符	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r}$
动量算符	一般状况 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	一般状况 $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
	电磁场 ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	电磁场（$\mathbf {A}$是磁矢势） $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$
动能算符	平移运动 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	平移运动 ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}$
	电磁场 ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}$	电磁场（$\mathbf {A}$是磁矢势） ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}$
	旋转运动（$I$是转动惯量） ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}$	旋转运动 ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}$
势能算符	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)$
总能量算符	N/A	含时位势： ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ 不含时位势： ${\hat {E}}=E$
哈密顿算符	N/A	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}$
角动量算符	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$
自旋算符	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ 其中， $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ 是自旋1/2粒子的泡利矩阵。	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}$ 其中，矢量${\boldsymbol {\sigma }}$的分量是泡利矩阵。
总角动量算符	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$
跃迁矩（电） （transition moment）	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r}$

范例

位置算符

主条目：位置算符

只思考一维问题，将位置算符${\hat {x}}$施加于位置本征态$|x\rangle$，可以得到本征值$x$，即粒子的位置：

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$。

由于位置基底具有完整性，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，任意量子态$|\psi \rangle$可以按着位置本征态形成的基底展开：

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

将位置算符${\hat {x}}$施加于量子态$|\psi \rangle$，由于算符${\hat {x}}$只作用于右矢$|x\rangle$，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

左矢$\langle \psi |$与这方程的内积为

$\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

设定量子态$|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。由于位置基底具有完整性，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，量子态$\langle \psi |$与$|\alpha \rangle$的内积，可以按着位置本征态形成的基底展开为

$\langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle$。

设定量子态$|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。量子态$|\Psi \rangle$、$|\psi \rangle$的位置空间表现，即波函数，分别定义为

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$。

两个波函数$\Psi (x)$、$\psi (x)$之间的关系为

$\Psi (x)=x\psi (x)$。

总结，位置算符${\hat {x}}$作用于量子态$|\psi \rangle$的结果$|\Psi \rangle$，表现于位置空间，等价于波函数$\psi (x)$与$x$的乘积$\Psi (x)$。

动量算符

表现于位置空间，一维动量算符为

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$。

将动量算符${\hat {p}}$施加于量子态$|\psi \rangle$，可以得到类似前一节得到的结果：

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态$|\phi \rangle$，可以得到更广义的结果：

${\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\phi (x)=\langle x|\phi \rangle$、$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$分别是量子态$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$表现于位置空间的波函数。

假设$|\psi \rangle$是${\hat {p}}$的本征态，本征值为$p$，则可得到

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

将$|\psi \rangle$改写为本征值为$p$的本征态$|p\rangle$，方程改写为

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle$。

这微分方程的解析解为

$\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }$。

所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程，就可以推导求得这出结果。

参阅

• 有界算符
• 表示论
• 算子