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拉东测度

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数学测度论中,拉东(Radon)测度,是在豪斯多夫空间上的博雷尔测度,且具有局部有限内部正则性质。

定义

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m豪斯多夫空间X博雷尔集σ-代数上的测度m称为

  • 内部正则,若对任何博雷尔集B,其测度m(B)等于B的所有紧致子集K的测度m(K)的最小上界
  • 外部正则,若对任何博雷尔集B,其测度m(B)等于所有包含B的开集U的测度m(U)的最大下界
  • 局部有限,若X中任一点都有邻域U,使得m(U)为有限。
  • 拉东测度,若m是内部正则及局部有限。

例子

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以下不是拉东测度:

性质

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对偶性

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在一个局部紧豪斯多夫空间上,拉东测度对应到在支集连续函数空间上的正线性泛函。这个性质是提出拉东测度的定义的主要原因。

度量空间结构

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上的所有(正)拉东测度组成的带点锥 ,可以用下述度量使成为完备度量空间。定义两个测度间的拉东距离

其中最小上界是对所有连续函数f: X → [-1, 1]取的。

这个度量有一些限制。例如上的概率测度

关于拉东度量不是序列紧致,即是概率测度序列未必有收敛子序列。这个性质在一些应用中会造成困难。另一方面,若是紧致度量空间,那么 Wasserstein度量使成为紧致度量空间。

在拉东度量收敛意味着测度的弱收敛

但反之则不必然。在拉东度量收敛有时称为强收敛,以便和弱收敛对比。

其他

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外部链接

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