测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 $\mu _{n}$ ，随着 $n$ 的增大， $\mu _{n}$ 的性质与 $\mu$ 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 $\varepsilon >0$ ，只要 $N$ 充分大， 对于任何 $n\geqslant N$ ， $\mu _{n}$ 和 $\mu$ 之间的'差别'小于 $\varepsilon$ 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的弱收敛

在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.

定义 $S$ 为拥有 Borel σ-代数 $\Sigma$的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度 $P_{n}$ , $n=1,2,...$ 弱收敛于概率测度 $P$ ,（记为

$P_{n}\Rightarrow P$）

如果下面任何一条条件得到满足 ( $E_{n}$ 为关于概率 $\mu$ 的数学期望，$E$ 为关于概率 $P$ 的数学期望):

• $E_{n}f\rightarrow Ef$ 对于任何有界连续的函数 $f$,
• $E_{n}f\rightarrow Ef$ 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 $f$ ,
• $\limsup E_{n}f\geqslant Ef$ 对于任何有上界的 上半连续 的函数 $f$ ,
• $\liminf E_{n}f\geqslant Ef$ 对于任何有下界的 下半连续 的函数 $f$ ,
• $\limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)$ 对于任何空间S中的闭集 $C$ ;
• $\liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)$ 对于任何空间S中的开集 $U$ ;
• $\lim P_{n}(A)\geqslant P(A)$ 对于任何关于概率P连续的集合$A$ .

参考文献

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
• Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.