快乐数

快乐数有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数字平方和（数字的平方和），得到的新数再次求所有数字的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。

以十进制为例：

2 8 → ${{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68$ → ${{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100$ → ${{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1$

3 2 → ${{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13$ → ${{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10$ → ${{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1$

3 7 → ${{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58$ → ${{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89$ → ${{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145$ → ${{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42$ → ${{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20$ → ${{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4$ → ${{4}^{2}}=16$ → ${{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37$$......$

5 6 → ${{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61$ → ${{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37$ → ${{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58$ → ${{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89$ → ${{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145$ → ${{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42$ → ${{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20$ → ${{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4$ → ${{4}^{2}}=16$ → ${{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37$$......$

因此28和32是快乐数，而在37和56的计算过程中，数字会重复出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环（不快乐数循环），不会出现1，因此37和56不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数（英语：unhappy number），所有不快乐数的数字平方和计算，最后都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。

在十进制下，100以内的快乐数有（OEIS数列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20个。

快乐数表格

以下是小于100的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。

00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

以下是100到小于200的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。

100	101	102	103	104	105	106	107	108	109
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
120	121	122	123	124	125	126	127	128	129
130	131	132	133	134	135	136	137	138	139
140	141	142	143	144	145	146	147	148	149
150	151	152	153	154	155	156	157	158	159
160	161	162	163	164	165	166	167	168	169
170	171	172	173	174	175	176	177	178	179
180	181	182	183	184	185	186	187	188	189
190	191	192	193	194	195	196	197	198	199

以下是200到小于300的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。

200	201	202	203	204	205	206	207	208	209
210	211	212	213	214	215	216	217	218	219
220	221	222	223	224	225	226	227	228	229
230	231	232	233	234	235	236	237	238	239
240	241	242	243	244	245	246	247	248	249
250	251	252	253	254	255	256	257	258	259
260	261	262	263	264	265	266	267	268	269
270	271	272	273	274	275	276	277	278	279
280	281	282	283	284	285	286	287	288	289
290	291	292	293	294	295	296	297	298	299

300以内的快乐数没有其中一位是5，300以内的数其中有一位是5，它一定不是快乐数。

以下是300到小于400的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。

300	301	302	303	304	305	306	307	308	309
310	311	312	313	314	315	316	317	318	319
320	321	322	323	324	325	326	327	328	329
330	331	332	333	334	335	336	337	338	339
340	341	342	343	344	345	346	347	348	349
350	351	352	353	354	355	356	357	358	359
360	361	362	363	364	365	366	367	368	369
370	371	372	373	374	375	376	377	378	379
380	381	382	383	384	385	386	387	388	389
390	391	392	393	394	395	396	397	398	399

发现10*10、100*100等表格的快乐数表格有线对称。

快乐数的约数

以下是300以内的快乐数约数。

快乐数	约数	约数个数	奇偶数	数字和
1	1	1	奇数	1
7	1、7	2	奇数	7
10	1、2、5、10	4	偶数	1
13	1、13	2	奇数	4
19	1、19	2	奇数	10
23	1、23	2	奇数	5
28	1、2、4、7、14、28	6	偶数	10
31	1、31	2	奇数	4
32	1、2、4、8、16、32	6	偶数	5
44	1、2、4、11、22、44	6	偶数	8
49	1、7、49	3	奇数	13
68	1、2、4、17、34、68	6	偶数	14
70	1、2、5、7、10、14、35、70	8	偶数	7
79	1、79	2	奇数	16
82	1、2、41、82	4	偶数	10
86	1、2、43、86	4	偶数	14
91	1、7、13、91	4	奇数	10
94	1、2、47、94	4	偶数	13
97	1、97	2	奇数	16
100	1、2、4、5、10、20、25、50、100	9	偶数	1
103	1、103	2	奇数	4
109	1、109	2	奇数	10
129	1、3、43、129	4	奇数	12
130	1、2、5、10、13、26、65、130	8	偶数	4
133	1、7、19、133	4	奇数	7
139	1、139	2	奇数	13
167	1、167	2	奇数	14
176	1、2、4、8、11、16、22、44、88、176	10	偶数	14
188	1、2、4、47、94、188	6	偶数	17
190	1、2、5、10、19、38、95、190	8	偶数	10
192	1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192	14	偶数	12
193	1、193	2	奇数	13
203	1、7、29、203	4	奇数	5
208	1、2、4、8、13、16、26、52、104、208	10	偶数	10
219	1、3、73、219	4	奇数	12
226	1、2、113、226	4	偶数	10
230	1、2、5、10、23、46、115、230	8	偶数	5
236	1、2、4、59、118、236	6	偶数	11
239	1、239	2	奇数	14
262	1、2、131、262	4	偶数	10
263	1、263	2	奇数	11
280	1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280	16	偶数	10
291	1、3、97、291	4	奇数	12
293	1、293	2	奇数	14

由表格可知：

• 128以内快乐数没有约数3、6、9等数，如果128以内的数是3的倍数等，它一定不是快乐数。
• 1000以内快乐数没有约数9、15、18、21等数，如果1000以内的数是9的倍数等，它一定不是快乐数。
• 1000以内快乐数同样也没有能被25整除但不能被100整除，即尾数是（25、50或75的数），如果1000以内的数是25的倍数但不是100的倍数，它一定不是快乐数。
• 1000以内的快乐数有143个，只有7个是3的倍数，129、192、219、291、888、912、921，概率:5%。
• 1000以内的快乐数有143个，有其中一位是5的只有12个，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，概率:8%。
• 1000以内的快乐数有143个，只有3个是25的倍数，100、700、1000，概率:2%。

快乐素数

在十进制下，300以内的快乐素数有（OEIS数列A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15个。

快乐完全数

已知的51个完全数，只有3个是快乐数：28、496、8128。

其他进制的快乐数

• 三进制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS数列A239320）

• 五进制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS数列A240849）

• 任何进制（最小快乐数且大于1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

（OEIS数列A161871）

其他进制的不快乐数循环

• 2进制
  • 每个数都是快乐数

• 3进制
  • 2 → 11 → 2

    在十进制中为2 → 4 → 2

• 4进制
  • 每个数都是快乐数

• 5进制
  • 4 → 31 →20 → 4

    在十进制中为4 → 16 → 10 → 4

  • 23 → 23

    在十进制中为13 → 13

• 6进制
  • 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5

    在十进制中为5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

• 7进制
  • 2 → 4 → 22 → 11 → 2

    在十进制中为2 → 4 → 16 → 8 → 2

  • 34 → 34

    在十进制中为25 → 25

• 8进制
  • 4 → 20 → 4

    在十进制中为4 → 16 → 4

  • 5 → 31 → 12 → 5

    在十进制中为5 → 25 → 10 → 5

  • 32 → 15 → 32

    在十进制中为26 → 13 → 26

• 9进制
  • 58 → 108 → 72 → 58

    在十进制中为53 → 89 → 65 → 53

  • 55 → 55

    在十进制中为50 → 50

• 10进制
  • 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

• 11进制
  • 75 → 68 → 91 → 75

    在十进制中为82 → 74 → 100 → 82

  • 23 → 12 → 5 → 23

    在十进制中为25 → 13 → 5 → 25

• 12进制
  • 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22

    在十进制中为26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26

  • 21 → 5 → 21

    在十进制中为25 → 5 → 25

• 13进制
  • 79 → A0 → 79

    在十进制中为100 → 130 → 100

  • 36 → 36

    在十进制中为45 → 45

  • B2 → 98 → B2

    在十进制中为145 → 125 → 145

  • 67 → 67

    在十进制中为85 → 85

  • 14 → 14

    在十进制中为17 → 17

• 16进制
  • D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D

    在十进制中为13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

其他性质

• 快乐数加入数字0或交换的数也是快乐数，不快乐数的情况也是。例如：49是快乐数，94、4900也是快乐数；123不是快乐数，321、10203、123000也不是快乐数
• 通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
• 十进制不快乐数的循环只有一个，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python代码

#ishappy number

def ishappy(n):
    a = []
    while n not in a:
        a.append(n)
        n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])
        
    return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相关条目

• 幸福数
• 哈沙德数
• 幸运数

外部链接

• Happy number calculator - 可以在线判断数字是否为快乐数〔英文〕