图像压缩
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图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，目的是减少图像数据中的冗余信息，从而用更加高效的格式存储和传输数据。
压缩的原理
[编辑]资料越一致，代表统计特性越集中，包括傅里叶变换域(Fourier transform domain)、直方图(histogram)、特征值(eigenvalue)......等方面的集中度。压缩的通则即是利用资料的一致性，越一致的资料，越能够进行压缩。除此之外，也可利用资料的规则性与可预测性来对其作压缩。通常而言，若可以用比较精简的自然语言来描述一个东西，那么也就越能够对这个东西作压缩。
利用资料的特性作压缩
[编辑]- 文章：常用字或字母(字母多出现E，少出现QXZ)。
- 歌曲：重复的旋律、频率的倍频关系、节拍内频率的稳定。
- 声音：能量多集中在低频、频率在短区间内的稳定。
- 卡通：每块区域的边缘(edge)信息与颜色(color)、边缘(edge)信息可以用较少参数编码(如果边缘(edge)是几何图案)。
资料压缩示例
[编辑]- 声音：MP3(.mp3)，压缩率约1/3。
- 图片：JPEG(.jpg)，压缩率约1/10(灰阶)或1/20(彩色，利用4：2：0)。
- 影片：MPEG(H.264、H.265)，压缩率约1/30(灰阶)或1/60(彩色)。
影像的一致性
[编辑]空间上的一致性
[编辑]影像中每一点的值，会和相邻的点的值非常接近。
≈
![{\displaystyle \operatorname {F} [m,n+1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99995e9ea0e8bbe5294692b481a0a70582423b6)
![{\displaystyle \operatorname {F} [m,n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced841c91a1b004b4abac85b854a1915206dde96)
≈
![{\displaystyle \operatorname {F} [m+1,n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cebe30defad4c3b017ea4981f0ae0a2cf90f05)
直方图(histogram)是统计出现次数的一种方法，它会去计算一个向量(vector)或一个矩阵(matrix)当中，有多少个点会等于某一个值。
举例来说，
![{\displaystyle \operatorname {x} [n]=[1,2,3,4,4,5,5,3,5,5,4]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f121aa96238a14958d9fd68bcf7c6847dc8b88e)
则 的直方图(histogram)为 ，，，，
![{\displaystyle \operatorname {x} [n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3d6ecc55fea42b4cd66bbe2a3bb6c3afbd56f9)
![{\displaystyle \operatorname {h} [1]=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6f94d2e34ed92f3c30c845ed5de796c32f0c19)
![{\displaystyle \operatorname {h} [2]=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0076b5d383dd332ace5d6d276114132ceb69a2a6)
![{\displaystyle \operatorname {h} [3]=2\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad00c0a186971cd062297ebfba76df2a206738b5)
![{\displaystyle \operatorname {h} [4]=3\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50005c548e1b2bd2e45ecd56411705884f5935af)
![{\displaystyle \operatorname {h} [5]=4\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d20f8890061ba905dc7f64e947cd8f02c2c4aa)
将影像相临值的差异，利用直方图(histogram)来统计，会发现值几乎都落在0附近。
频率上的一致性
[编辑]一张影像的频谱大多集中在低频的地方。 影像的“频率”是在空间域(space domain)作分析：
- 低频成分代表变化较为缓和的地方，对应的是影像的“颜色”(color)和“强度”(intensity)。
- 高频成分代表变化较为剧烈的地方，对应的是影像的“边缘”(edge)和“噪声”(noise)。
常用图像压缩技术
[编辑]压缩的技术分成两种：有损压缩(lossy compression)的压缩率较高，但无法重建原来的资料，例如：DFT、DCT、KLT(搭配量化(quantization)与截断(truncation))、4：2：2或4：2：0、多项式曲线的近似(polynomial approximation)；无损压缩(lossless compression)的压缩率较低，但可以重建原来的资料，例如：二元编码(binary coding)、霍夫曼编码(Huffman coding)、算术编码(arithmetic coding)、格伦布编码 (Golomb coding)。
4：2：2或4：2：0
[编辑]此技术运用的是空间上的一致性。
将像素(pixel)的RGB值，利用以下的公式变换成YCbCr
Y = 0.299 R + 0.578 G + 0.114 B
Cb = -0.169 R - 0.331 G + 0.500 B ( Cb = 0.565 (B - Y) )
Cr = 0.500 R - 0.419 G - 0.081 B ( Cr = 0.713 (R - Y) )
其中 Y 是亮度(Luminance)，Cb是蓝色色差(chrominance) ，Cr 是红色色差(chrominance)。
人类的视觉系统，对于亮度比较敏感，而对于彩度比较不敏感。 因此我们可以利用人类视觉的特性，减少Cb、Cr的采样个数，采样格式有4：2：2 与 4：2：0两种。
假设一张图片原本压缩前(即4：4：4)的Y、Cb、Cr各有M×N个值，4：2：2的压缩Y保留为M×N个值、Cb、Cr则采样到各剩下M/2×N个值；4：2：0的压缩Y同样保留为M×N个值、Cb、Cr则进一步采样到各剩下M/2×N/2个值。 从4：4：4到4：2：2，压缩率约为2/3；从4：4：4到4：2：0，压缩率约为1/2。 从4：4：4压缩到4：2：2，再压缩到4：2：0，单一像素(pixel)存储的bit 数可以等效为：24 bits/pixel → 16 bits/pixel → 12 bits/pixel。
还原时，则是利用插值(interpolation)的方式：
= 1/2 ×( + )
![{\displaystyle \operatorname {C_{\text{b}}} [2m+1,2n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da41f6469bb5105079313aad9019e635a02263)
![{\displaystyle \operatorname {C_{\text{b}}} [2m,2n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ab3b8016b81c9429d3fd26152901b88c5464a8)
![{\displaystyle \operatorname {C_{\text{b}}} [2m+2,2n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b75095fca8f5404f0e197ff3cef1532d5e76177)
8×8 离散余弦变换(DCT)
[编辑]此技术运用的是频率上的一致性。
通常我们会将影像切成8×8的方格作离散余弦变换(DCT)，原因如下：
- 一张影像的每个区块，其高低频成分都不一样，对整张影像直接作离散余弦变换(DCT)，多少会有高频成分的出现。如果切成8×8的方格，则对大部分的方格几乎都没有高频成分。
- 降低存储器的需要量
- 降低运算量
经过离散余弦变换(DCT)后的8×8矩阵称为DCT矩阵。DCT矩阵最左上角的系数称为直流(DC)成分，而其他63个系数则称为交流(AC)成分。越靠近DC值的AC值系数表示频率较低的部分，而越往右下角方向的AC值代表的频率则越高。
2D的8×8 DCT的输出通常会按照"zigzag"的顺序，将2D转为1D的类型。按照此顺序排列，能量可能较大的会被摆在前面，而后面的高频成分从某个值开始后几乎为零，以符号EOB(end of block)表示，指后面的高频的部分经过量化(quantization)之后皆为0。
差分编码(Differential coding)
[编辑]此技术运用的是空间上的一致性。
差分编码指的是，除第一个元素外，将其中各元素都表示为各该元素与其前一元素的差的编码。
对 ，是针对 - 去编码， 而不是直接对作编码。
![{\displaystyle \operatorname {DC} [i,j]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81809444fb4ac8dcc708913bb15a15c9ff000511)
![{\displaystyle \operatorname {DC} [i,j-1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c57d8bf0a50b8698098d3420f1cc0a95dba4f26)
霍夫曼编码(Huffman coding)
[编辑]霍夫曼编码(Huffman coding)的编码原则：(Greedy Algorithm)
- 所有的码皆在编码树(coding tree)的端点，再下去没有分枝。满足唯一可解译码(uniquely decodable code)与即时可解码(instantaneous decodable code)。
- 几率越大的，编码长度(code length)越短；几率越小的，编码长度(code length)越长。
- 假设 是第L层的节点(node)， 是第L+1层的节点(node)，则 >= 必须满足。
不满足以上的条件则往上推一层。
算术编码(Arithmetic coding)
[编辑]霍夫曼编码(Huffman coding)是将每一笔资料分开编码，算术编码(Arithmetic coding)则是将多笔资料一起编码，因此压缩效率比霍夫曼编码(Huffman coding)更高，近年来的压缩资料大多使用算术编码(Arithmetic coding)。
- 示例：
假设要对X来作二进制的编码，且经过事先的估计， 的几率为0.8， 的几率为0.2。
![{\displaystyle \operatorname {X} [i]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da90c0bdd78b8afcd469b9b4ec90969e2087754)
![{\displaystyle \operatorname {X} [i]=b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d64e0b391c1cf1a222bdc9f5493d7923dec63cf)
若实际上输入的资料为
Initial()：lower =0，upper=0.8
![{\displaystyle \operatorname {X} [1]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbe7afa6f3d12ea80dcc54e99e17cbfe72a869e)
When i = 2 ()：lower =0，upper=0.64
![{\displaystyle \operatorname {X} [2]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7000504465a777b177cbc983347845ce66d0d620)
When i = 3 ()：lower =0，upper=0.512
![{\displaystyle \operatorname {X} [3]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bee20e87ef6f8b6aa5f7b40571c782089cbc8ab)
When i = 4 ()：lower =0.4096，upper=0.512
![{\displaystyle \operatorname {X} [4]=b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011063fe4fe6a9e3a82b49ee9a3a25b030cd8402)
When i = 5 ()：lower =0.4096，upper=0.49152
![{\displaystyle \operatorname {X} [5]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b2e8c66ae498c5eb00f02a9c35f6f364cbe6f9)
When i = 6 ()：lower =0.4096，upper=0.475136
![{\displaystyle \operatorname {X} [6]=a\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af3c032daa42593f478a059d45e403f48df2060)
由于 lower =0.4096，upper=0.475136
lower <= 14* < 15* <= upper
所以编码的结果为
动态影像之编码
[编辑]MPEG(Moving Picture Experts Group)为动态影像编码的国际标准。 动态影像编码的使用原理为：不同时间，同一个像素(pixel)之间的相关度通常极高，只需对有移动的对象(objects)记录移动向量(motion vector)。
：时间为t的影像
![{\displaystyle \operatorname {F} [m,n,t]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d0d96eec52dc33e0bf327d6fc4c577c17476a6)
如何由 ， 来预测 ？
![{\displaystyle \operatorname {F} [m,n,t+delta]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6378d611e2d391348bf506e69872d5f650d893cd)
![{\displaystyle \operatorname {F} [m,n,t+2*delta]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fc85436479cbdfb6ec16182b50f6c524087709)
(1)移动向量，
![{\displaystyle \operatorname {V_{\text{x}}} [m,n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e964fe81b7cd5ee7906f4c52ced1c80caf356f)
![{\displaystyle \operatorname {V_{\text{y}}} [m,n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752dbaaa29ebc6832ad3cea9d6db7195ec58100d)
(2)预测：
=
![{\displaystyle \operatorname {F_{\text{p}}} [m,n,t+2*delta]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90f64e8d45cb211eb708a70b5448b044ab648db)
![{\displaystyle \operatorname {F} [m-{V_{\text{x}}}[m,n],n-{V_{\text{y}}}[m,n],t+delta]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad556b10991f149e242170b5aa8c208d5d9bd60e)
(3)计算“预测误差”
= -
![{\displaystyle \operatorname {E} [m,n,t+2*delta]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3765013a345a7927b0dd1a0225f898a2e34c7c0c)
对预测误差 作编码。
影像文件的处理(Matlab)
[编辑]基本概念
[编辑]- 灰阶影像在Matlab 当中是一个矩阵，彩色影像在Matlab 当中是三个矩阵，分别代表红色(Red)、绿色(Green)、蓝色(Blue)。
.bmp: 没有经过任何压缩处理的图像文件
.jpg: 有经过JPEG 压缩的图像文件
- 要对影像做运算时，要先变成double的格式，否则电脑会默认影像为integer 的格式，在做浮点运算时会产生误差。
例如，若要对影像做2D离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform)：
im=imread('C:\Program Files\MATLAB\pic\Pepper.bmp');
im=double(im);
Imf=fft2(im);
基本指令
[编辑]- Image 档读取: imread
- Image 档显示: imshow, image, imagesc
- Image 档制作: imwrite
- Video 档读取: aviread
示例
[编辑]- 黑白影像
im=double(imread('C:\Program Files\MATLAB\pic\Pepper.bmp'));
(如果Pepper.bmp 是个灰阶图，im 将是一个矩阵)
size(im);
(用size 这个指令来看im 这个矩阵的大小)
image(im);
colormap(gray(256));
- 彩色影像
im2=double(imread('C:\Program Files\MATLAB\pic\Pepper512c.bmp'));
size(im2);
(由于这个图像文件是个彩色的，所以im2 将由三个矩阵复合而成)
压缩方法
[编辑]图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。常见的应用有raw和tiff格式等。gif和jpeg是有损压缩。通过DCT变换后选择性丢掉人眼不敏感的信号分量，实现高压缩比率。
无损压缩
[编辑]对于如绘制的技术图、图表或者漫画，优先使用无损压缩，这是因为有损压缩方法，尤其是在低的位速条件下，将会带来压缩失真，如医疗图像或者用于存档的扫描图像……等，这些有价值的内容的压缩也尽量选择无损压缩方法。
有损压缩
[编辑]有损方法非常适合于自然的图像，例如一些应用中图像的微小损失是可以接受的（有时是无法感知的），这样就可以大幅度地减小位速。
- 色彩空间：这是化减到图像中常用的颜色。所选择的颜色定义在压缩图像头的调色板中，图像中的每个像素都用调色板中颜色索引表示。这种方法可以与抖动一起使用以模糊颜色边界。
- 色度抽样：这利用了人眼对于亮度变化的敏感性远大于颜色变化，这样就可以将图像中的颜色信息减少一半甚至更多。
- 变换编码：这是最常用的方法。首先使用如离散余弦变换（DCT）或者小波变换这样的傅立叶相关变换，然后进行量化和用熵编码法压缩。
- 分形压缩：
特性
[编辑]图像压缩的目的就是在给定位速或者压缩比下实现最好的图像质量。但是，还有一些其它的图像压缩机制的重要特性：
- 可扩展编码 ：又称渐进编码、嵌入式位流，通常表示操作位流和文件产生的质量下降（没有解压缩和再压缩）。尽管具有不同的特性，在无损编码中也有可扩展编码，它通常是使用粗糙到精细像素扫描的格式。尤其是在下载时预览图像（如浏览器中）或者提供不同的图像质量访问时（如在数据库中）可扩展编码非常有用，有几种不同类型的可扩展性：
- 质量渐进：又称层渐进，位流渐进更新重建的图像。
- 分辨率渐进：首先在低分辨率编码图像，然后编码与高分辨率之间的差别。
- 成分渐进：首先编码灰度数据，然后编码彩色数据。
- 感兴趣区域编码：图像某些部分的编码质量要高于其它部分，这种方法可以与可扩展编码组合在一起（首先编码这些部分，然后编码其它部分）。
- 元数据信息：压缩数据可以包含关于图像的信息用来分类、查询或者浏览图像。这些信息可以包括颜色、纹理统计信息、小预览图像以及作者和著作权信息。
压缩方法的质量经常使用峰值信噪比来衡量，峰值信噪比用来表示图象有损压缩带来的噪声。但是，观察者的主观判断也认为是一个重要的、或许是最重要的衡量标准。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]Jian-Jiun Ding, “Advanced Digital Signal Processing”, NTU, 2021.
