在线性代数中,哈密尔顿–凯莱定理(英语:Cayley–Hamilton theorem)(以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名)表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。
明确地说:设
为给定的
矩阵,并设
为
单位矩阵,则
的特征多项式定义为:
![{\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606839b119ee2875dc199226f4d5d58fe9331069)
其中
表行列式函数。哈密尔顿–凯莱定理断言:
![{\displaystyle p(A)=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2359b938c2e72ddea6204abc87fb3ec1e2c328)
哈密尔顿–凯莱定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除,这在寻找若尔当标准形时特别有用。
举例明之,考虑下述方阵:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2b657e2e40c1f54e705bc7802f5720ca136d3e)
其特征多项式为
![{\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98f507f05c3db0ca965a75fc647bbfb1f726148)
此时可以直接验证哈密尔顿–凯莱定理:
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430a12d1225f97adb1dd6f49e10d965731bb523f)
此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430a12d1225f97adb1dd6f49e10d965731bb523f)
![{\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4abc82d5415d77436de88891457942ea881d6b8)
例如,为了计算
,可以反复利用上述关系式:
![{\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45402b7f472df72b3e3ac626c558c749e737c351)
![{\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8628d1efdf740458bd5b3c5d559ddaa75e5b2b)
![{\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7d56b6af34790e292a765eb9f32b46b56a8143)
或是,如果要计算
,也可以假设:
![{\displaystyle A^{n}=aA+bI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7aaded4c78d686b5c7e33060fcb60d2bf33955)
然后,依照前面的特征多项式
之两解
,代入后可以得到
![{\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9f511666b2ca164cd678b7aab40c24b663442f)
![{\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660c7a0c85e19eed1734296bf8e9312d2450efec)
然后解方程后求出
,便可得
。
此外,哈密尔顿–凯莱定理也是计算特征向量的重要工具。
注:一般而言,若
矩阵
可逆(即:
),则
可以写成
的幂次和:特征多项式有如下形式
![{\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d1cde758a6038b07f552d3d59a12faef9de655)
将方程式
同乘以
,便得到
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988654ec8be7247249ee13ce88697e8bc614a94a)
以下考虑布于域
上的矩阵。
哈密尔顿–凯莱定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若
是
矩阵,而
表其伴随矩阵,则
![{\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edbe536d49fc52de0bb02be198be338f5044980)
取
,便得到
。此式对所有
皆成立,由于实数或复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环
内成立。
设
,矩阵
赋予
一个
-模结构:
。考虑
-模
,我们有
-模之间的“求值态射”:
![{\displaystyle e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fc7d8cb2ce3a9a152b95d4a096189dddaaab5d)
固定
,对
中的等式
![{\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b6762f38a8a53b08407fb2da902b4850e751c3)
右侧取
后得到
,左侧取
后得到
。明所欲证。
另外一个简单的证明:
令:
![{\displaystyle B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15b2c71fb9326ea1ca6dd6bf688b1bff8020bed)
由:
![{\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edbe536d49fc52de0bb02be198be338f5044980)
得:
![{\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bec8faafa2fd35c0f9ce166d473b2462f3ace87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16de99ba071a29eea9de4ed06dee702c657fca2c)
![{\displaystyle p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d7a1548df56f81237c329c215032fd305b52cb)
因两多项式,他们的对应项系数相等得:
![{\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47adaa113a2d655e00f2557ccd5185b9d1d31020)
在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:
![{\displaystyle O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b3f976fa06b3e25df37e1a9f195579618b749a)
得证。
前述证明用到系数在
的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此,哈密尔顿–凯莱定理可以推广到一个交换环
上的任何有限生成自由模
(向量空间是特例)。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。