克莱因-戈尔登方程(英语:Klein-Gordon equation)是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程,它是薛定谔方程的狭义相对论形式,用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。
克莱因-戈尔登方程为
。
很多时候会用自然单位(c=ħ=1)写成

由于平面波为此方程已知的一组解,所以方程形式由它决定:

遵从狭义相对论的能量动量关系式

跟薛定谔方式不同,每一个k在此都对应着两个
,只有通过把频率的正负部分分开,才能让方程描述到整个相对论形式的波函数。若方程在时间流逝下不变,则其形式为
。
自由粒子的薛定谔方程是非相对论量子力学的最基本方程:

其中
是动量算符。
薛定谔方程并非相对论协变的,意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。
利用狭义相对论中的相对论能量公式
替换薛定谔方程左边的动能
项,最终可得它的协变形式:
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其中
,达朗贝尔算符
.
从相对论量子力学的观点来看,达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程是一个量子力学的波方程。
场论中,对于自旋为零的场(标量场),拉格朗日量被写成

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位,将光速
和普朗克常数
都取作1。
代入欧拉-拉格朗日方程
可直接得到克莱因-戈尔登方程。
从量子场论的观点来看,以上推导过程都在经典场论的范围之内,因此克莱因-戈尔登方程只是一个经典场的场方程。
相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念,但形如克莱因-戈尔登方程这样的波方程仍然具有形式上的平面波解:

其中
从克莱因-戈尔登方程得出的能量本征值为

因而克莱因-戈尔登方程的解包含了负能量。同时,由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程,但这个方程仍然没有避免出现负能量。
克莱因-戈尔登方程有行波解[1]
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Klein Gordon equation traveling wave plot4
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Klein Gordon equation traveling wave plot5
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Klein Gordon equation traveling wave plot6
- ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer