普朗歇爾定理(又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式[1] )是调和分析的重要定理,由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说,如果
是實數線上的函数,并且
是它的频谱,那么
或者寫成
範數:
數學上更嚴格的描述是,令函数
同时屬於两个L p空间
和
,那么它的傅里叶变换
屬於
, 且為
中的等距變換。
這代表限制在
上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張
,有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是幺正的,透過此變換,我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換。
普朗歇爾定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上,若是滿足一些其他的假設,普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立,更多細節可以參考非交换调和分析。
由於在
上內積與範數是相容的,我們也可以把普朗歇爾定理应用到
的内积上。也就是說,如果
、
是两个在
內的函數,
表示普朗歇爾变换,则
而如果
和
屬於
,有
以及
所以
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics
. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.
- Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
- Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
- Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .