不可克隆原理

不可克隆原理（No-cloning theorem）是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子位元产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。

证明

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

$|\phi \rangle$ 和 $|\psi \rangle$ 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态 $|k\rangle$ 上。我们用一个幺正算符 $U$ 来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle

U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle

内积 $\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle$ 可得出以下两个等式：

\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle

\langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle

这样便得到了：

\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,

{\to }

\langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.

因为 $\langle k|k\rangle =1$ ，所以得出

\langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .

这个等式仅有的两个解是 $\langle \phi |\psi \rangle =0$ 和 $\langle \phi |\psi \rangle =1$ 。这意味着，要么 $\phi =\psi$ （当 $\langle \phi |\psi \rangle =1$ ），要么 $\phi$ 与 $\psi$ 正交（当 $\langle \phi |\psi \rangle =0$ )。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

举例

无法从 $|\psi \rangle$ 造出 $|\psi \rangle |\psi \rangle$ 。

设状态 $|\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$ 。则 $|\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle$

把 $|\psi \rangle$ 与 $|0\rangle$ 作为输入：

|\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle

经过受控反閘，输出:

a|00\rangle +b|11\rangle

这与 $|\psi \rangle |\psi \rangle$ 并不相等，状态没有被复制。

参考文献

W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.