WKB近似

在量子力學裏，WKB近似是一種半古典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半古典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

簡略歷史

WKB近似以三位物理學家格雷戈爾·文策爾、漢斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈羅德·傑弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了傑弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。

數學概念

一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數$\epsilon \,\!$。給予一個微分方程式，形式為

$\epsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0\,\!$。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：

$y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$。

將這擬設代入微分方程式。然後約去相同指數函數因子。又取$\delta \rightarrow 0\,\!$的極限。這樣，就可以從$S_{0}(x)\,\!$開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目$S_{n}(x)\,\!$。

通常$y(x)\,\!$的漸近級數會發散。當$n\,\!$大於某值後，一般項目$\delta ^{n}S_{n}(x)\,\!$會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

數學例子

設想一個二階齊次線性微分方程式

$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!$；

其中，$Q(x)\neq 0\,\!$。

猜想解答的形式為

$y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!$。

將猜想代入微分方程式，可以得到

$\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\,\!$。

取$\delta \rightarrow 0\,\!$的極限，最重要的項目是

${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!$。

我們可以察覺，$\delta \,\!$必須與$\epsilon \,\!$成比例。設定$\delta =\epsilon \,\!$，則$\epsilon \,\!$的零次冪項目給出

$\epsilon ^{0}:\qquad S_{0}'^{2}=Q(x)\,\!$。

我們立刻認出這是程函方程式。解答為

$S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!$。

檢查$\epsilon \,\!$的一次冪項目給出

$\epsilon ^{1}:\qquad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\,\!$。

這是一個一維傳輸方程式。解答為

$S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k_{1}\,\!$；

其中，$k_{1}\,\!$是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為$S_{0}\,\!$可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：

$y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!$。

檢查$\epsilon \,\!$的更高冪項目（$n>2\,\!$）可以給出：

$2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\,\!$。

薛丁格方程式的近似解

解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：

1. 將波函數重寫為一個指數函數，
2. 將這指數函數代入薛丁格方程式，
3. 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，
4. 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，
5. 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!$；

其中，$\hbar \,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是質量，$x\,\!$是坐標，$V(x)\,\!$是位勢，$E\,\!$是能量，$\psi \,\!$是波函數。

稍加編排，重寫為

$\hbar ^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!$。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數$\phi \,\!$的指數（函數$\phi \,\!$與作用量有很密切的關係）：

$\psi (x)=e^{\phi (x)/\hbar }\,\!$。

代入方程式(1)，

$\hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$；(2)

其中，$\phi '\,\!$表示$\phi \,\!$隨著$x\,\!$的導數。

$\phi '\,\!$可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數$A(x)\,\!$與$B(x)\,\!$：

$\phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!$。

注意到波函數的波幅是$\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!$，相位是$\int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!$。將$\phi '\,\!$的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：

$\hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$，(3)

$\hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!$。(4)

半古典近似

將$A(x)\,\!$與$B(x)\,\!$展開為$\hbar \,\!$的冪級數：

$A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)\,\!$，

$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)\,\!$。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。$\hbar \,\!$的零次冪項目給出：

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!$，

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0\,\!$。

假若波幅變化地足夠慢於相位（$A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!$），那麼，我們可以設定

$A_{0}(x)=0\,\!$，

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$。

只有當$E\geq V(x)\,\!$的時候，這方程式才成立。古典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，$\hbar \,\!$的一次冪項目給出：

$A_{0}'+2A_{0}A_{1}-2B_{0}B_{1}=-2B_{0}B_{1}=0\,\!$，

$B_{0}'+2A_{0}B_{1}+2B_{0}A_{1}=B_{0}'+2B_{0}A_{1}=0\,\!$。

所以，

$B_{1}=0\,\!$，

$A_{1}=-{\frac {B_{0}'}{2B_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB_{0}^{-1/2}\,\!$。

波函數的波幅是 $\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!$。

定義動量$p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!$，則波函數的近似為

$\psi (x)\approx {\cfrac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm i\int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$；(5)

其中，$C_{+}\,\!$和$C_{-}\,\!$是常數，$x_{0}\,\!$是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（$B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!$），那麼，我們可以設定

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$，

$B_{0}(x)=0\,\!$。

只有當$V(x)\geq E\,\!$的時候，這方程式才成立。古典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為

$\psi (x)\approx {\frac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm \int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!$；(6)

其中，$p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!$。

連接公式

顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在古典轉向點$E=V(x)\,\!$，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在古典轉向點的近似解答。設定$x_{1}<x<x_{2}\,\!$是古典運動允許區域。在這區域內，$E>V(x)\,\!$，波函數呈振動形式。其它區域$x<x_{1}\,\!$和$x_{2}<x\,\!$是古典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在古典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點$x_{2}\,\!$附近，將 ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!$展開為一個冪級數：

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{2})+U_{2}(x-x_{2})^{2}+\cdots \,\!$；

其中，$U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!$是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U_{1}(x-x_{2})\psi (x)\,\!$。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

$\psi (x)=C_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)+C_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)\,\!$。

匹配艾里函數和在$x<x_{2}\,\!$的波函數，在$x_{2}<x\,\!$的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在$x_{2}\,\!$附近的連接公式（connection formula）：

$\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x_{2}\\{\cfrac {C_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x_{2}<x\end{cases}}\,\!$ 。

類似地，也可以得到在$x_{1}\,\!$附近的連接公式：

$\psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x_{1}\\{\cfrac {2C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x_{1}<x\end{cases}}\,\!$ 。

量子化規則

在古典運動允許區域$x_{1}<x<x_{2}\,\!$內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量

$\theta _{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!$，

$\theta _{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!$，

$\alpha =\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx/\hbar \,\!$。

那麼，

$\alpha =\theta _{2}-\theta _{1}-\pi /2\,\!$，

$-C_{1}\sin \theta _{1}=C_{2}\sin \theta _{2}=C_{2}\sin(\theta _{1}+\alpha +\pi /2)\,\!$。

立刻，我們可以認定$|C_{1}|=|C_{2}|\,\!$。匹配相位，假若$C_{1}=C_{2}\,\!$，那麼，

$\alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

所以，

$\alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

假若$C_{1}=-C_{2}\,\!$，那麼，

$\alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

所以，

$\alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

範例

考慮一個量子諧振子系統，一個質量為$m\,\!$的粒子，運動於諧振位勢$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!$；其中，$\omega \,\!$是角頻率。求算其本徵能級$E_{n}\,\!$？

能量為$E\,\!$的粒子，其運動的古典轉向點$x_{t}\,\!$為

$E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{t}^{2}\,\!$。

所以，

$x_{t}=\pm {\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\!$。

粒子的動量為

$p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!$。

將這些變量代入量子化守則：

$\int _{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

經過一番運算，可以得到本徵能量

$E_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!$。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

參閱

• 微擾理論 (量子力學)
• 量子穿隧效應
• 舊量子論

參考文獻

現代文獻

• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 
• Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

歷史文獻

• Jeffreys, Harold. On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, 23: 428–436 [2008-11-19]. （原始內容存檔於2013-05-03）. 
• Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. 1926, 183: 24–26. 
• Kramers, Hendrik A. Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. Zeitschrift der Physik. 1926, 39: 828–840. 
• Wentzel, Gregor. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. Zeitschrift der Physik. 1926, 38: 518–529.