高斯圓問題

數學中，高斯圓問題（英語：Gauss circle problem）問以原點為中心，$r$為半徑的圓內，有多少個整數點。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。

問題

考慮$\mathbb {R} ^{2}$中以原點為中心和以$r\geq 0$為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點$(m,n)$使$m$和$n$都是整數。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，問題等價於詢問有多少對整數$m$和$n$使得

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

以$N(r)$表示輸入為$r$時的答案。以下第一行先列出$r$由$0$至$12$時，$N(r)$的值，第二行列出$\pi r^{2}$四捨五入到最接近的整數，以作比較：

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS數列A000328）

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS數列A075726）

解決方案和猜想的上下界

$N(r)$大概是$\pi r^{2}$ ，半徑範圍內的區域$r$ 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， $\pi r^{2}$ 。因此，應該預期

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

對於某些錯誤項$E(r)$具有相對較小的絕對值。找到正確的上限$\mid E(r)\mid$因此是問題採取的形式。注意$r$不必是整數。後$N(4)=49$一個有$N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.$在這些地方$E(r)$之後它減少（以$2\pi r$ ），直到下一次增加為止。

高斯設法證明

$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

謝爾品斯基將指數改進至$2/3$，以大O符號表示，即證明$|E(r)|=O(r^{2/3})$，約翰內斯·范德科皮特引進了他關於外爾和的估計，從而證明了指數為$37/56$的結果（此數略小於$2/3$）。以後不少數學家改進這一結果。中國數學家華羅庚與陳景潤分別證得指數為$13/20$與$24/37$的上界。

下界方面，哈代和Landau分別獨立證明

$|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),$

其中用到小o表示。據推測，正確的界線是

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

設$E(r)\leq Cr^{t}$總成立，則關於$t$的最小可能值$t_{0}$，目前所知的結果是

${\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,$

其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由馬丁·赫克斯利證明。

確切形式

$N(r)$的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式：

$N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

這是雅可比二平方和定理的結果，該定理來自雅可比三重積。

如果將平方和函數$r_{2}(n)$定義為將自然數$n$寫為兩個整數平方之和的方法數，則$r_{2}(n)/4$是一個積性函數，且可寫出較簡單的和式：

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)$

Hardy首次發現了以下的最新成果：

$N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

其中$J_{1}$表示第一種階數為1的貝塞爾函數。

概論

儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。

原始圓問題

另一個概括是計算互質整數解數量$m,n$的不等式

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量$V(r)$然後的值$V(r)$為了$r$取小整數值是

0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341）

使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為$6/\pi ^{2}$，容易證明

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是$221/304+\varepsilon$。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))$

其中$c$為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何$\varepsilon >0$，$1-\varepsilon$的誤差項沒有限制。

外部鏈接

• 埃里克·韋斯坦因. Gauss's circle problem. MathWorld.