積分常數是(英語:Constant of integration)指在微積分中,函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數,一般會用C表示,一函數的反導數有無窮多個,但其中除了積分常數不同外,其餘部份均相同[1][2][註 1]。
任何常數函數的導數均為零,因此只要發現一個函數的反導數
,因為
,加上或減去一常數C後的函數也是反導數,積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。
例如,假設需要求得
的反導數,
、
及
的導數都是
,因此都是
的反導數。
同一個函數可以有許多的反導數,而這些反導數之間只相差一個常數,因此若要列出
所有的反導數,可以用以下的通式:
![{\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243afc1dcaa77be05b070e4b1be99e91ad67782b)
C即為積分常數,利用下式可以確認這些函數的確都是
的反導數:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d6e937d807c850a5d5f320952900b934be5587)
若利用線性代數的描述方式,微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中,因此其反運算(積分)會多一個待確定的條件[3]。
積分常數可以設為0,而且利用微積分基本定理計算定積分時,積分常數會互相抵消,積分常數看似沒有必要。
不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理,例如
可以用以二種方式積分:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23dd69633bbbb1f0df3f8848ca93d49c1b9140dc)
即使將C設為0,仍然有些積分表示式中會出現常數,也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。
使用積分常數的另一個原因,是有時會需要反導數在特定點為某特定值,就像是初值問題的情形一様。例如要求出
的反導數,且x = π時的值為100,此時C只有一個數值才能滿足此條件(此例中C = 100)。
上述限制可以用微分方程式的形式來描述:求解一個函數
的反導數也就是求解微分方程式
。任何微分方程式都有許多的解,每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值,若沒有積分常數C,許多初值問題就無法求解。
原因可以用以下定理來表示:令
及
為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數x,
都成立,則存在一實數C使得對於所有的實數x,
皆成立。
若要證明此式,由於
,因此以下用F-G來代替F,而用常數函數0來代替G,待證明為一個處處可微,導數恆為0的函數一定是常數:
選擇一實數a,令
。針對任意的x,依照微積分基本定理可得
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb116f00affc0ec1f62baebc3961297ff22a8432)
因此可得
,因此F為常數函數。
證明過程中,有二個條件相當重要。首先,實數數線為連通空間,若實數數線不是連通空間,就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義,而a為0,因為函數在1到2之間沒有定義,不可能從0積分到3。此時會有二個常數,分別對應定義域中的二個連通空間。一般而言,若將常數改為局部常數函數s,可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如
有二個積分常數,而
有無限個積分常數。1/x積分的一般式為:[4]
![{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6714a0cb222cc0fd942b78d3e06c331f73b9e211)
再者,F和G的條件需是處處可微的函數,若F及G在某一點不可微,則以上定理不成立。例如令
單位階躍函數,在x負值時為0,在x非負時為1,令
。F在有定義導數的區域,其導數為0,G的導數恆為0,但F及G不只差一個常數而已。
甚至假設F及G為處處連續,幾乎處處可微,則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。
- ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4.
- ^ Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007
- ^ "Reader Survey: log|x| + C (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012