柯西應力張量

三維應力分量

柯西應力張量（英語：Cauchy stress tensor，通常以${\boldsymbol {\sigma }}\,\!$表示），又稱為真實應力張量（true stress tensor），是連續介質力學里用現時構形描述的二階應力張量，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名。該張量為對稱張量，其九個分量（六個獨立分量）表示某一點的應力狀態。假設n為單位方向矢量，T⁽ⁿ⁾為通過與n垂直平面的應力矢量，則T⁽ⁿ⁾與n之間的關係為

$\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!$

其中柯西應力張量表示為，

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!$

柯西應力張量適用分析當材料變形微小時，不適用於大變形情況(如彈性體受力變形)。