雙曲函數

射線出原點交單位雙曲線$x^{2}-y^{2}=1$於點$(\cosh a,\sinh a)$，這裡的$a$是射線、雙曲線和x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值

雙曲函數示意圖

幾個雙曲函數的圖形。

在數學中，雙曲函數是一類與常見的三角函數（也叫圓函數）類似的函數。最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數$\sinh$和雙曲餘弦函數$\cosh$，從它們可以導出雙曲正切函數$\tanh$等，其推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數。

雙曲函數的定義域是實數，其自變量的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。

基本定義

sinh、cosh和tanh

csch、sech和coth

最簡單的幾種雙曲函數為：

• 雙曲正弦：

  $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

• 雙曲正切：

  $\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$

• 雙曲餘切：當$x\neq 0$

  $\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$

• 雙曲正割：

  $\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$

• 雙曲餘割：當$x\neq 0$

  $\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$

函數$\cosh x$是關於y軸對稱的偶函數。函數$\sinh x$是奇函數。

如同當$t$遍歷實數集$\mathbb {R}$時，點（$\cos t$, $\sin t$）的軌跡是一個圓$x^{2}+y^{2}=1$一樣，當$t$遍歷實數集$\mathbb {R}$時，點（$\cosh t$, $\sinh t$）的軌跡是單位雙曲線$x^{2}-y^{2}=1$的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

$\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$

參數t不是圓角而是雙曲角，它表示在x軸和連接原點和雙曲線上的點（$\cosh t$, $\sinh t$）的直線之間的面積的兩倍。

歷史

在直角雙曲線（方程$y={1 \over x}$）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中$\cosh$和$\sinh$的${\sqrt {2}}$倍。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線$xy=1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y=x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$，垂線是$\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• $\cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}$
• $\sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy=1$下雙曲角的${1 \over 2}$。

虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果$x$是實數而$i^{2}=-1$，則

$\cos(ix)=\cosh(x),\quad$ $-i\sin(ix)=\sinh(x).$

所以雙曲函數$\cosh$和$\sinh$可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成$\cosh$函數，後者形成了$\sinh$函數。$\cos$函數的無窮級數可從$\cosh$得出，通過把它變為交錯級數，而$\sin$函數可來自將$\sinh$變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數$i$，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子$(-1)^{n}$，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

$e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$

${\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

• 雙曲正弦：

  $\sinh x=-i\sin(ix)\!$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x=\cos(ix)\!$

• 雙曲正切：

  $\tanh x=-i\tan(ix)\!$

• 雙曲餘切：

  $\coth x=i\cot(ix)\!$

• 雙曲正割：

  $\operatorname {sech} x=\sec(ix)\!$

• 雙曲餘割：

  $\operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

與三角函數的類比

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角$\alpha$得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函數與三角函數有如下的關係:

• 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
• 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
• 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
• 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
• 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
• 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
• 角的量值可以從0到無限大，但$\alpha$實際上只會介於$0$到$2\pi$（360度）之間，其餘是$\alpha$的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從$0$到無限大，但$\alpha$實際上不會超過${\frac {\pi }{4}}$（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

恆等式

主條目：雙曲函數恆等式

與雙曲函數有關的恆等式如下:

${\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x\\\operatorname {coth} ^{2}x-1=\operatorname {csch} ^{2}x\\\end{aligned}}$

• 加法公式：

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}$

• 二倍角公式：

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x$

$\cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1$

$\tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}$

• 和差化積：

${\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

• 半角公式：

$\sinh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}$

$\cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}$

其中 sgn 為符號函數。

若 x ≠ 0，則：

$\tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x$

由於雙曲函數和三角函數之間的對應關係，雙曲函數的恆等式和三角函數的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函數公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，並將含有有兩個$\sinh$的積的項（包括$\coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

• 三倍角公式：

三角函數的三倍角公式為：

$\sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x$

$\cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x$

而對應的雙曲函數三倍角公式則是：

$\sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x$

$\cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x$

• 差角公式：

${\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$

雙曲函數的導數

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}$

雙曲函數的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$（羅朗級數）

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$（羅朗級數）

其中

$B_{n}$是第$n$項伯努利數

$E_{n}$是第$n$項歐拉數

無限積與連續分數形式

下列的擴展在整個複數平面上成立：

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

雙曲函數的積分

$\int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C$

$\int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C$

$\int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C$

$\int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C$

$\int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C$

$\int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C$

與指數函數的關係

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

$e^{x}=\cosh x+\sinh x$

和

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x$

複數的雙曲函數

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數$\sinh z$和$\cosh z$是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}$

所以:

${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為$2\pi i$（對雙曲正切和餘切是$\pi i$）。

反雙曲函數

主條目：反雙曲函數

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。它們的定義為：

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}$

參見

• 反雙曲函數
• 雙曲函數符號
• 三角函數
• 古德曼函數