利普希茨連續

在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的絕對值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

定義

對於利普希茨連續函數，存在一個雙圓錐(白色)其頂點可以沿著曲線平移，使得曲線總是完全在這兩個圓錐外。

對於在實數集的子集的函數$f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ，若存在常數$K$，使得$|f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D$，則稱$f$ 符合利普希茨條件，對於$f$ 最小的常數$K$ 稱為 $f$ 的利普希茨常數。

若$K<1$，$f$ 稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義：

給定兩個度量空間$(M,d_{M}),(N,d_{N})$，$U\subseteq M$。若對於函數$f:U\to N$，存在常數$K$ 使得

$d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U$

則說它符合利普希茨條件。

若存在$K\geq 1$使得

${\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U$

則稱$f$為雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

主條目：柯西-利普希茨定理

若已知$y(t)$有界，$f$符合利普希茨條件，則微分方程初值問題$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}$剛好有一個解。

在應用上，$t$通常屬於一有界閉區間（如$[0,2\pi ]$）。於是$y(t)$必有界，故$y$有唯一解。

例子

• $f:[-3,7]\to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}$符合利普希茨條件，$K=4$。
• $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}$不符合利普希茨條件，當$x\to \infty ,\quad f'(x)\to \infty$。
• 定義在所有實數值的$f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$符合利普希茨條件，$K=1$。
• $f(x)=|x|$符合利普希茨條件，$K=1$。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。
• $f:[0,1]\to [0,1],\quad f(x)={\sqrt {x}}$不符合利普希茨條件，$x\to 0,\quad f'(x)\to \infty$。不過，它符合赫爾德條件。
• 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界，$f$符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有$C^{1}$函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。

性質

• 符合利普希茨條件的函數連續，實際上一致連續。
• 雙李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。
• Rademacher定理：若$A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$且$A$為開集，$f:A''\to \mathbb {R} ^{n}$符利普希茨條件，則$f$幾乎處處可微。
• Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間$H_{1},H_{2}$，$U\in H_{1}$，$f:U\to H_{1}$符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的$F:H_{1}\to H_{2}$，使得$F$的利普希茨常數和$f$的相同，且$F(x)=f(x)\quad \forall x\in U$。