在數學 中，分數傅立葉變換 （Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換 （Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在訊號處理 領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。
分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
時域 與頻域 之間的分數域（Fractional Domain）。
若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換 。
對訊號
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
傅立葉變換 的結果為
F
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(x)}
傅立葉變換 的結果為
F
(
F
(
x
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))}
F
2
=
F
(
F
(
x
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))}
a
{\displaystyle a}
傅立葉變換 可以寫成一般式
F
a
(
x
)
=
F
(
a
−
1
)
(
F
(
x
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{a}(x)={\mathcal {F}}^{(a-1)}({\mathcal {F}}(x))}
a
{\displaystyle a}
a
=
2
ϕ
π
{\displaystyle a={\frac {2\phi }{\pi }}}
ϕ
=
1
2
a
π
{\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}a\pi }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
分數傅立葉變換 定義為
F
ϕ
(
x
)
=
F
2
ϕ
/
π
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\phi }(x)={\mathcal {F}}^{2\phi /\pi }(x)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在訊號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版「分數傅立葉變換及其在光學和訊號處理中應用」一書。
第一種定義:
X
ϕ
(
u
)
=
1
−
j
c
o
t
ϕ
⋅
e
j
π
⋅
c
o
t
ϕ
⋅
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
j
2
π
⋅
c
s
c
ϕ
⋅
u
t
e
j
π
⋅
c
o
t
ϕ
⋅
t
2
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt}
第二種定義:
X
ϕ
(
u
)
=
1
−
j
c
o
t
ϕ
2
π
⋅
e
j
c
o
t
ϕ
2
⋅
u
2
∫
−
∞
∞
e
−
j
c
s
c
ϕ
⋅
u
t
e
j
c
o
t
ϕ
2
⋅
t
2
x
(
t
)
d
t
{\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt}
ϕ
=
0.5
a
π
{\displaystyle \phi =0.5a\pi }
a
{\displaystyle a}
當
a
=
1
{\displaystyle a=1}
ϕ
=
0.5
π
{\displaystyle \phi =0.5\pi }
分數傅立葉變換 就成了傅立葉變換 。
F
2
(
f
)
=
F
(
F
(
f
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))}
F
(
n
+
1
)
(
f
)
=
F
(
F
n
(
f
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))}
F
−
n
(
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}(F)}
F
(
ω
)
{\displaystyle F(\omega )}
n
{\displaystyle n}
F
−
1
(
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(F)}
而分數傅立葉變換 將以上定義推廣至非整數次的
n
=
2
α
π
{\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}}
α
{\displaystyle \alpha }
實數 ，表示為
F
α
(
f
)
=
F
2
α
/
π
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)}
當
n
=
2
α
π
{\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}}
n
{\displaystyle n}
例如:
n
=
1
{\displaystyle n=1}
傅立葉變換 ，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度
n
=
2
{\displaystyle n=2}
傅立葉變換 ，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度 ,
F
2
[
x
(
t
)
]
=
x
(
−
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
傅立葉變換 ，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度
n
=
4
{\displaystyle n=4}
傅立葉變換 ，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,
F
4
[
x
(
t
)
]
=
x
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)}
對於任一實數
α
{\displaystyle \alpha }
f
{\displaystyle f}
α
{\displaystyle \alpha }
F
α
(
f
)
(
ω
)
=
1
−
i
cot
(
α
)
2
π
e
i
cot
(
α
)
ω
2
/
2
∫
−
∞
∞
e
−
i
csc
(
α
)
ω
t
+
i
cot
(
α
)
t
2
/
2
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)dt}
並且具備以下特性
F
α
+
β
(
f
)
=
F
α
(
F
β
(
f
)
)
=
F
β
(
F
α
(
f
)
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }(f)={\mathcal {F}}_{\alpha }({\mathcal {F}}_{\beta }(f))={\mathcal {F}}_{\beta }({\mathcal {F}}_{\alpha }(f))}
F
α
[
∑
k
b
k
f
k
(
u
)
]
=
∑
k
b
k
F
α
[
f
k
(
u
)
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}
若
α
=
k
π
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {k\pi }{2}}}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
當
α
=
π
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}
連續傅立葉變換 的定義 ，
當
α
=
−
π
2
{\displaystyle {\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}}
連續傅立葉變換 之逆變換的定義。
若
α
{\displaystyle \alpha }
π
{\displaystyle \pi }
餘切函數 和餘割函數 不會收斂。
有一方法可解決此問題，就是取limit 讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數 被積分的情況，使得
F
α
=
F
k
π
2
=
F
k
=
(
F
)
k
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}
(
F
α
)
−
1
=
F
−
α
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}
F
α
1
F
α
2
=
F
α
2
F
α
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}
(
F
α
1
F
α
2
)
F
α
3
=
F
α
1
(
F
α
2
F
α
3
)
{\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}
若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆
∫
f
∗
(
u
)
g
(
u
)
d
u
=
∫
f
α
∗
(
u
)
g
α
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
維格納分布 ,加伯轉換 )順時針旋轉角度
ϕ
{\displaystyle \phi }
維格納分佈 (Wigner distribution function)[ 編輯 ] 假設
(a)
W
x
(
t
,
f
)
{\displaystyle W_{x}(t,f)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
(b)
W
X
ϕ
(
u
,
v
)
{\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)}
X
ϕ
(
u
)
{\displaystyle X_{\phi }(u)}
(c)
X
ϕ
(
u
)
{\displaystyle X_{\phi }(u)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
，則
W
X
ϕ
(
u
,
v
)
=
W
x
(
u
c
o
s
(
ϕ
)
−
v
s
i
n
(
ϕ
)
,
u
s
i
n
(
ϕ
)
+
v
c
o
s
(
ϕ
)
)
{\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}
假設
(a)
G
x
(
t
,
f
)
{\displaystyle G_{x}(t,f)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
(b)
G
X
ϕ
(
u
,
v
)
{\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)}
X
ϕ
(
u
)
{\displaystyle X_{\phi }(u)}
(c)
X
ϕ
(
u
)
{\displaystyle X_{\phi }(u)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
，則
G
X
ϕ
(
u
,
v
)
=
G
x
(
u
c
o
s
(
ϕ
)
−
v
s
i
n
(
ϕ
)
,
u
s
i
n
(
ϕ
)
+
v
c
o
s
(
ϕ
)
)
{\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)=G_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}
例子一:
對一個加伯轉換後的餘弦函數 做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
例子二:
對一個加伯轉換後的矩形函數 做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
可用分解訊號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，
這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。
假設現在
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
(
t
)
=
x
1
(
t
)
+
x
2
(
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}
x
1
(
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
(
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)}
x
1
(
t
)
=
{
1
,
if
0
<
t
<
1
0
,
otherwise
{\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0<t<1{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}
x
2
(
t
)
=
{
1
,
if
8
<
t
<
10
0
,
otherwise
{\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}8<t<10{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}
h
(
t
)
=
{
1
,
if
−
2
<
t
<
2
0
,
otherwise
{\displaystyle h(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-2<t<2{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
)
{\displaystyle x1(t),x2(t)}
若要將這兩個訊號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個訊號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個訊號分開。
則
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
x
1
(
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
(
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)}
此作法可成功將這兩個訊號分開。
此種方法的限制為欲分解的訊號必須在時域不能重疊，否則無法成功分解。
x
(
t
)
=
x
1
(
t
)
+
x
2
(
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}
x
1
(
t
)
=
s
i
n
(
4
π
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)=sin(4\pi t)}
x
2
(
t
)
=
c
o
s
(
10
π
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)=cos(10\pi t)}
可以很明顯地看出
x
1
(
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)}
x
2
(
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)}
此時，可以妥善利用傅立葉轉換將訊號
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
X
(
f
)
=
X
1
(
f
)
+
X
2
(
f
)
{\displaystyle X(f)=X_{1}(f)+X_{2}(f)}
X
1
(
f
)
=
δ
(
f
−
2
)
−
δ
(
f
+
2
)
2
{\displaystyle X_{1}(f)={\frac {\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}}
X
2
(
f
)
=
δ
(
f
−
5
)
+
δ
(
f
+
5
)
2
{\displaystyle X_{2}(f)={\frac {\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}}
由
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
假設
H
(
f
)
{\displaystyle H(f)}
低通濾波器 (Low-pass Filter)
H
(
f
)
=
{
1
,
if
−
3
<
t
<
3
0
,
otherwise
{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-3<t<3{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}}
則
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
H
(
f
)
{\displaystyle H(f)}
X
1
(
f
)
{\displaystyle X_{1}(f)}
X
2
(
f
)
{\displaystyle X_{2}(f)}
反之，若要保留
X
2
(
f
)
{\displaystyle X_{2}(f)}
X
1
(
f
)
{\displaystyle X_{1}(f)}
這種把欲處理訊號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。
欲分解的訊號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。
x
(
t
)
=
e
j
0.5
(
t
−
4
)
2
{\displaystyle x(t)=e^{j0.5(t-4)^{2}}}
啁啾 雜訊) + 三角波訊號。三角波訊號(藍色)是我們要的訊號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，
不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項
e
j
0.5
(
t
−
4
)
2
{\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}}
e
j
0.5
(
t
−
4
)
2
{\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}}
因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的訊號來說，很難在一維 的時域和頻域中將其分解。
但若使用二維 的時頻分析 ，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的訊號分解。
這是因為兩個在時、頻域皆重疊的訊號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個訊號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換 將其成功分解(如下圖左下、右下)。
假設有噪音干擾，所以接收到的訊號除了原始訊號以外，還包含了雜訊。
用時頻分析方法來處理接收到的訊號，黑色為原始訊號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。
現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始訊號。
方法1 : 使用垂直的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把訊號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法1無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。
方法2 : 使用水平的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把訊號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法2也無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。
方法3 : 使用斜的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離訊號和噪音。如下圖。
Cutoff line 的參數包含了
ϕ
{\displaystyle \phi }
u
0
{\displaystyle u_{0}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
u
0
{\displaystyle u_{0}}
以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:
步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角
ϕ
{\displaystyle \phi }
步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉
ϕ
{\displaystyle \phi }
步驟(3) 算出
u
0
{\displaystyle u_{0}}
步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換
−
ϕ
{\displaystyle -\phi }
x
i
(
t
)
{\displaystyle x_{i}(t)}
x
o
(
t
)
{\displaystyle x_{o}(t)}
x
o
(
t
)
=
X
−
ϕ
[
X
ϕ
(
x
i
(
t
)
)
H
(
u
)
]
{\displaystyle x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]}
H
(
u
)
=
{
1
,
if
u
<
u
0
0
,
if
u
>
u
0
{\displaystyle H(u)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}u<u_{0}{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{if}}u>u_{0}{\mbox{ }}\end{cases}}}
例子二: 假設發射一訊號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise
(a) 發射訊號的時域圖
(b) 接收訊號的時域圖
(c) 發射訊號的韋格納分布
(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來
(e) 發射訊號的加伯轉換
(f) 接收訊號的加伯轉換
(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
(j) 對(i)做分數傅立葉轉換
(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻
(l) 經過(k)濾波器以後
(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號
(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128% 由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號
例子三:
一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾
(a) 發射訊號
(b) 接收訊號
(c) 接收訊號的韋格納分
(d) 接收訊號的加伯轉換
(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。
(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%
傅立葉轉換
優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。
缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。
分數傅立葉轉換
優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。
缺點: 運算複雜度較高。
其他的時間-頻率變換：
N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT , 18 , 70-73 (1929).
V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25 , 241–265 (1980).
Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33 , 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013 
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642fb7430630068ae31dbdc0aba8ef9d0210b495)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616604e6dbaf6e1e8ac3f5b09da2b1475da7602f)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c99656b0433c3cb3cc57ba016f25865c872d61)
![{\displaystyle x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc271b5a6f80d070ff91fc676b7775704c92e52)
