克萊因四元群

數學上，克萊因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克萊因，是最小的非循環群。它有4個元素，除單位元外其階均為2。

克萊因四元群通常以V表示（來自德文的四元群Vierergruppe）。它是阿貝爾群，同構於$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，就是2階的循環群與自身的直積。它也同構於4階的二面體群。

結構

若把克萊因四元群記作V = { 0, e, f, g }，其運算為加法"+"，那麼以下為其運算表：

+	0	e	f	g
0	0	e	f	g
e	e	0	g	f
f	f	g	0	e
g	g	f	e	0

這運算是對合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克萊因四元群可擴展為有限域，稱為克萊因域，加入乘法為第二個運算，以0為零元，e為單位元。乘法與加法符合分配律。乘法表為：

x	0	e	f	g
0	0	0	0	0
e	0	e	f	g
f	0	f	g	e
g	0	g	e	f

克萊因四元群是下圖的圖自同構群。

${\begin{matrix}\circ \!\!-\!\!\circ \\\circ \;\;\circ \\\end{matrix}}$

克萊因四元群3個階2的元之間的對稱性，可以從它在4點上的置換表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在這表示中，V是交錯群A₄的正規子群，也是4個字母上的對稱群S₄的正規子群。根據伽羅瓦理論，克萊因四元群的存在，而且還具有這特別的表示，解釋了四次方程可以用根式求解的原因。