Π的萊布尼茲公式

在數學領域，π的萊布尼茲公式說明

\;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;

右邊的展式是一個無窮級數，被稱為萊布尼茲級數，這個級數收斂到 ${\frac {\pi }{4}}$ 。它通常也被稱為格列哥里-萊布尼茲級數用以紀念萊布尼茲同時代的天文學家兼數學家詹姆士·格列哥里。使用求和符號可記作：

\;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

證明

考慮下面的幾何數列：

1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!

對等式兩邊積分可得到反正切的冪級數：

x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!

將x = 1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是π ⁄ 4)。這種推理產生的一個問題是1不在冪級數的收斂半徑以內。因此，需要額外論證當x = 1時級數收斂到tan⁻¹(1)。一種方法是利用交錯級數判別法，然後使用阿貝爾定理證明級數收斂到tan⁻¹(1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。

初等證明

考慮如下分解

{\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!

對於|x| < 1，右側的分式是餘下的幾何級數的和。然而，上面的方程式並沒有包含無窮級數，並且對任何實數x成立。上式兩端從0到1積分可得：

{\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!

當 $n\rightarrow \infty \!$ 時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茲級數。同時，積分項收斂到0：

0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!

當

n\rightarrow \infty \!

這便證明了萊布尼茲公式。

格點與數論證明

通過以 $(0,0)$ 為圓心， $R$ 為半徑的圓上及圓內格點（即橫坐標與縱坐標皆為整數）個數計算公式來得出，在這裡先考慮費馬平方和定理：一個奇質數能表示成兩個平方數之和若且唯若該質數模4餘1，並且不考慮符號與交換律下其形式唯一（由於必為一奇一偶，因此不考慮符號但考慮交換律下必然為兩種形式），比如 $29\equiv 1{\pmod {4}}$ 可以得出 $29=2^{2}+5^{2}=5^{2}+2^{2}$ ，而 $23\equiv 3{\pmod {4}}$ 因此無法分解成兩個平方和形式。

現在對於所有正整數 $N$ ，有其唯一的質因數分解形式：

N=2^{k}(p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}})(q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{n}^{\beta _{n}})

其中 $\{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}\}$ 為互不相同的模4餘1的質數， $\{q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\}$ 為互不相同的模4餘3質數。

如果 $\{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}$ 只要其中一個為奇數，則正整數 $N$ 不存在表示成兩個平方和的形式（比如 $75=3\times 5^{2}$ ，3的次數為1，因此不能表示成兩平方和）；
而當 $\{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}$ 全為偶數時，此時能表示成平方數形式的數量等於 $(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)\cdots (\alpha _{m}+1)$ （不考慮符號但考慮交換律的情況，比如 $65=5\times 13$ ，其中5與13次數均為1，因此有 $(1+1)(1+1)=4$ ，即 $65=1^{2}+8^{2}=2^{2}+7^{2}=7^{2}+2^{2}=8^{2}+1^{2}$ ）；
2的冪次 $k$ 不影響 $N$ 表示兩平方和形式的個數，比如不管 $k$ 是多少， $2^{k}\times 65$ 能表示成兩個平方和形式都是4種。

接下來引入狄利克雷特徵函數，定義 $\chi (N)={\begin{cases}1&N\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&N\equiv 3{\pmod {4}}\\0&N\equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}$ ，因此為積性函數，滿足 $\chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)$ 。

對於模4餘1的質數 $p$ 以及自然數 $\alpha$ ，總有 $p^{\alpha }\equiv 1{\pmod {4}}$ ，因此 $\chi (1)+\chi (p)+\chi (p^{2})+\cdots +\chi (p^{\alpha })=\alpha +1$ ；
對於模4餘3的質數 $q$ 以及自然數 $\beta$ ，則有 $q^{\beta }\equiv (-1)^{\beta }{\pmod {4}}$ ，因此 $\chi (1)+\chi (q)+\chi (q^{2})+\cdots +\chi (q^{\beta })={\begin{cases}1&\beta \equiv 0{\pmod {2}}\\0&\beta \equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}$ ；
對於2以及自然數 $k$ ，當 $k=0$ 時 $2^{0}=1$ ，即 $\chi (1)=1$ ；當 $k>0$ 時總有 $\chi (2^{k})=0$ ，因此 $\chi (1)+\chi (2)+\chi (4)+\cdots +\chi (2^{k})=1$ 。

由於 $\chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)$ ，而這些結果正好與上述性質相吻合，因此 $N$ 表示成兩個平方和形式的數量可以由其所有因數 $t$ 相應的 $\chi (t)$ 之和 $\sum _{t|N}\chi (t)$ 來表示，比如 $30=2\times 3\times 5$ ，於是相應地有 $\chi (1)+\chi (2)+\chi (3)+\chi (5)+\chi (6)+\chi (10)+\chi (15)+\chi (30)=0$ 。

小於等於 $R^{2}$ 能被正整數 $n$ 整除的正整數有 $\left\lfloor {\frac {R^{2}}{n}}\right\rfloor$ 個，因此對於半徑為 $R$ 圓上及圓內格點數總和為：

1+4\left[\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor \chi (1)+\left\lfloor {\frac {R^{2}}{2}}\right\rfloor \chi (2)+\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R}}\right\rfloor \chi (R)\right]=1+4\left(\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {R^{2}}{3}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R'}}\right\rfloor ^{\frac {R'-1}{2}}\right)

其中 $R'$ 為不超過 $R$ 的最大奇數，再由圓面積為 $\pi R^{2}$ ，當 $R\to \infty$ 時，兩者比值極限得 $1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}$ 。^[1]

參考文獻

Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

^ 【官方双语】隐藏在素数规律中的π_哔哩哔哩_bilibili. [2022-04-06]. （原始內容存檔於2022-04-06）.

外部連結

[1] 【官方双语】隐藏在素数规律中的π_哔哩哔哩_bilibili. [2022-04-06]. （原始內容存檔於2022-04-06）.

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