具体范畴

在数学里，具体范畴一般被认为是这样的一种范畴，其物件为结构性的集合，态射为结构保持的函数，而态射复合则为函数复合。其形式定义并不和此直观完全吻合。

集合与函数的范畴Set 当然为一具体范畴，因为每个集合都可以被认为戴有一个“当然结构”。更重要的例子还包括了拓朴空间和连续函数的范畴Top与群和同态的范畴Grp。

定义

一个具体范畴为一对(C,U)，会使得

• C为一范畴，且
• U为一忠实函子C → Set。

U被认为是一种遗忘函子，它将C中的每个物件指定到其“源集合”中，且将C中的每个态射指定至其“源函数”里。

一个范畴C是“可具体”的若存在一个具体范畴(C,U)，亦即存在一忠实函子U : C → Set。

注记

1.必须强调的是，和直观相对地，具体化并不是一个范畴是否需满足的性质，而是要看一个范畴是否戴有结构。特别地是，一个范畴C可能允许数个映射至Set的忠实函子。因此，同一个范畴C，可能会有数个具体范畴(C,U)。

但实际上对遗忘函子的选定通常是清楚的，且在此情形之下，可简单说“具体范畴C”。例如，“具体范畴Set”会是指对(Set,I)，其中的I为单位函子Set → Set。

2.对U必须是忠实的要求意指要其将相同物件的不同态射映射至不同的函数上。不过，U可能将不同物件映射至同一个集合上，且若此为真，它也会将不同的态射映射至同一个函数上。

例如，若S和T是两个在同一集合X上的不同拓朴，则(X,S)和(X,T)会是在Top上的不同物件，且其遗忘函子Top → Set映射至同一个集合，即X上。更甚之，单位态射(X,S)→(X,S)和单位态射(X,T)→(X,T)被认为是Top中的不同态射，但会有相同的源函数，即X中的单位函数。

类似地，任一有四个元素的集合可以给定两个非同构的群结构：一个同构于$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$；另一个则同构于$\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$。

更多的例子

1.任一个群G可能被视为一个有单一个物件，对每个群内的元素都有一对应的态射的“抽象”范畴，。依据条目顶端所描述的直观概念，这并不被认为是具体的。但每个忠实G-集合（等价地说，每个将G做为群置换的表示）都会决定一个忠实函子G → Set。当每个群都可以忠实地作用在其本身时，G至少有一种方法可以做为一具体范畴。

2.相似地，任一偏序集合P可能被视为一抽象范畴，其带有一个唯一的态射x → y，若x ≤ y时。可定义一函子D : P → Set，将每个物件x映射至$D(x)=\{a\in P:a\leq x\}$且每个态射x → y映射至包括映射$D(x)\hookrightarrow D(y)$中，以此来做为一具体范畴。

3.物件为集合且态射为关系的范畴Rel第一眼看起来会是可具体的。然而，其会等价于一个物件为完全格且态射为上确界保持映射的范畴Sup。后者是具体的，所以可将Rel置于Rel → Sup → Set中。若这样做的话，则Rel的物件（即集合）的“源集合”不会是它本身，而是它的幂集。在此意思之下，关系$R\subseteq X\times Y$的“源函数”即为函数$\rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}$，其定义为$\rho (A)=\{y\in Y:\exists x\in A((x,y)\in R)\}$。

4.基于技术上的理由，巴拿赫空间和线性缩约的范畴Ban₁通常不是带有“明显”的遗忘函子，而是将巴拿赫空间映射至其（封闭）单位球的函子U₁ : Ban₁ → Set。

5.若C为任一小范畴，则存在一忠实函子P : Set^Cop → Set，将预层X映射至乘积$\prod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)$上。将此和米田内嵌Y:C → Set^Cop复合，可得出一忠实函子C → Set。

反例

其物件为拓朴空间且态射为同伦类的范畴hTop为不可能具体化的范畴的一个例子。其中的物件为集合（和附加的结构），态射则不是集合间的真实函数，函数的类。不存在“任何”从hTop映射至Set的忠实函子的此一事实是由彼德·福瑞首先证出。

具体范畴的内含结构

给定一具体范畴(C,U)和任意集合N。令U^N为一函子C → Set，定义为U^N(c) =(U(c))^N，则U^N的子函子被称为“N元谓词”且自然变换U^N → U为一“N元运算”。

相对具体

有可能将范畴Set替代成任意个范畴X（有时称之为“基范畴”），在具体范畴的定义之下。在此情形下，称(C,U)为“在X上的具体范畴”。

有时可以将一个N类理论的模型做为一个在Set^N上的具体范畴。

参考资料

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.;（1990）. Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆）（4.2MB PDF）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）。

• Freyd, Peter;（1970）. Homotopy is not concrete （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6（2004）, with the permission of Springer-Verlag.